《非線性偏微分方程及其在復幾何中的若干套用》是依託浙江大學，由張希擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性偏微分方程及其在復幾何中的若干套用
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：張希
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究復Monge-Ampere方程及其在復幾何、Sasakian幾何中的套用，以及全純叢上典則度量的存在性和相關熱流問題。我們首先通過討論復Monge-Ampere方程特別是一些非典型復Monge-Ampere方程的正則性和解的存在性，來研究非緊完備Kahler-Einstein度量、以及Sasakian幾何中典則度量的存在性、唯一性問題；同時我們也研究殆複流形上廣義復Monge-Ampere方程的正則性理論，並導出其幾何套用。另外我們還研究全純向量叢上典則度量結構的存在性問題，特別是非緊情形Hitchin-Kobayashi對應的推廣；我們也討論Higgs叢上Yang-Mills-Higgs能量泛函的梯度流，研究該熱流的收斂性問題，並在高維情形給出其blow-up集較好的幾何刻畫。
結題摘要
本項目主要研究非線性偏微分方程正則性理論及其在復幾何、Sasakian幾何中的套用。具體研究成果如下：（1）在復Monge-Ampere方程方面，我們研究復Monge-Ampere方程的正則性問題，研究一類褪化的復Monge-Ampere方程並將其與Sasakian度量空間的測地線方程聯繫起來，我們得到方程弱解的正則性結果作為幾何套用我們得到特殊Sasakian度量的唯一性結果；（2）在Higgs叢上研究典則度量及相關熱流方程，在半穩定Higgs叢上證明漸近Hremitian-Einstein度量的存在性結果，在高維情形研究Yang-Mills-Higgs熱流的收斂性問題，證明該熱流的極限必同構於對應初始Higgs對的Harder-Narashimhan-seshadri分解；（3）Sasakian-Einstein度量的存在性問題，證明Sasakian-Einstein度量的存在性和某類能量泛函的正則性存在密切聯繫；（4）研究推廣的Kahler-Einstein度量的存在性問題，在擾動項是擬正定的假設下，證明推廣的Kahler-Einstein度量存在性和能量泛函的正則性是等價的。我們的研究結果涉及微分幾何、復幾何、代數幾何、Yang-Mills-Higgs理論，有著一定的理論研究意義和套用價值。在項目資助期間我們共完成學術論文八篇，已發表論文6篇，其中6篇SCI收入，完成原計畫中的研究目標。
