《復幾何中的若干非線性分析問題》是依託中國科學技術大學，由張希擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：復幾何中的若干非線性分析問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張希
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目主要研究復幾何及Sasakian幾何中與典則度量有關的幾個非線性分析問題，著重於討論一些退化非線性橢圓、拋物偏微分方程及其在幾何中的套用。我們首先考慮凱勒幾何中帶錐奇點的Kahler-Ricci流，研究該流的相關估計和收斂性問題；在擬射影簇上研究半穩定Higgs叢上漸近Hermitian-Einstein度量的存在性問題，研究擬射影簇上Yang-Mills-Higgs熱流的收斂性問題以及該熱流的極限Higgs結構與代數幾何中初始Higgs叢的Harder-Narasimhan filtration之間的密切聯繫； 研究Sasakian幾何中典則度量的唯一性問題，研究橫截復Monge-Ampere方程以及和Sasakian-Einstein度量存在性相關的問題。
結題摘要
近幾十年來非線性分析被廣泛而深入地套用於整體微分幾何、復幾何的研究中，取得到了豐富的成果並有著廣闊的研究前景。本項目著重於研究非線性橢圓、拋物偏微分方程及其在復幾何和Sasakian幾何中的套用。項目執行期間我們按照原計畫開展以下方面的研究：凱勒幾何中帶奇點的典則度量和相關熱流；Higgs叢上的典則度量和相關熱流；Sasakian幾何中典則度量的存在性和唯一性問題；復Monge—Ampere 方程的內部正則性估計。我們研究Fano流形上的帶錐奇點的Kaehler-Ricci流，建立一致的Perelman型估計，得到相關收斂性結果；研究Higgs叢以及自反層上Hermitian-Yang-Mills熱流的收斂性問題，完全解決Bando和蕭蔭堂於上世紀九十年代提出的相關猜想；利用研究退化非線性橢圓偏微分方程來完全解決具常純量曲率Sasakian度量的唯一性問題；研究復Monge—Ampere 方程的內部正則性估計，引入新的方法得到內部C^{2, \alpha}估計以及相關Liouville型定理。項目資助四年間我們共發表有項目標註的SCI論文12篇，培養畢業博士生4名、碩士生3名，項目主持人於2016年獲國家自然科學基金委傑出青年項目資助，完成原計畫的研究目標和預期成果。
