Hessian 型完全非線性偏微分方程中的若干問題

《Hessian 型完全非線性偏微分方程中的若干問題》是依託哈爾濱師範大學，由侍述軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：Hessian 型完全非線性偏微分方程中的若干問題
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：侍述軍
• 依託單位：哈爾濱師範大學

項目摘要

Hessian型方程是完全非線性偏微分方程研究的最重要內容之一，微分幾何，復幾何，凸體幾何中的許多問題經常歸結到對Hessian型完全非線性偏微分方程的研究。本項目旨在綜合利用幾何技巧和非線性偏微分方程的分析技巧來研究Hessian型完全非線性偏微分方程中的一些問題，其內容涵蓋有預定混合面積測度問題、有界凸區域上k-Hessian方程齊次Dirichlet問題解的凸性、 一類Hessian型完全非線性方程解的先驗估計等。我們希望對完全非線性的Hessian型方程自身及相應微分幾何，復幾何和凸體幾何中的問題提供一些新的觀點與技術。

結題摘要

Hessian型方程是完全非線性偏微分方程研究的最重要類型之一，微分幾何，復幾何，凸體幾何中的許多問題經常歸結到對Hessian型完全非線性偏微分方程的研究，其中的Monge-Ampere方程是最重要的代表，亦是最重要的完全非線性偏微分方程。本項目主要研究了有界凸區域上Hessian方程齊次Dirichlet問題解的凸性、預定混合面積測度問題、 一類Hessian型完全非線性方程解的全局行為，先驗估計等。 特別是對歐氏空間一類Monge-Ampere方程det(D^2 u)=f(u) ，給出特定輔助曲率函式，建立了一個微分不等式，利用極值原理得到相應估計式，給出了解的水平集的高斯曲率和平均曲率的上界估計，推廣了文章“Chuanqiang Chen, Xi-Nan Ma, Shujun Shi, Curvature estimates for the level sets of solutions of the Monge-Ampere equation det(D^2 u)=1 , Chinese Annals of Mathematics B, 35(2014), 895-906” 的結果，並進一步推廣到流形上。對一類幾何中的完全非線性方程σ_k (vD^2 v+1/2 |∇v|^2 I)=h(x) v^α ，在一定條件下獲得解的全局行為的劉維爾型定理。