若干偏微分方程控制系統的適定正則性及穩定性分析

《若干偏微分方程控制系統的適定正則性及穩定性分析》是依託山西大學，由溫瑞麗擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：若干偏微分方程控制系統的適定正則性及穩定性分析
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：溫瑞麗
• 依託單位：山西大學

項目摘要

偏微分方程控制系統與集中參數系統的顯著差別在於控制器的空間位置可以選擇，邊界控制由於實際需要成為自然選擇。但邊界的控制與測量必然導致控制運算元和觀測運算元無界，於是在何種最優狀態空間求解，就成了重要問題。由此催生了在Salamon-Weiss意義下的適定正則性問題。在抽象的適定性和正則性框架下許多有窮維的結果被平行推廣到分布參數系統。但究竟何種偏微分系統，特別是高維的系統是適定正則的就成了分布參數系統控制理論一個新的研究方向。本項目首先將幾類具有實際意義的偏微分方程控制系統納入到抽象系統框架中，套用偏微分方程、分布參數系統控制、運算元半群以及黎曼幾何等數學理論獲得所考慮系統的適定性和正則性。在控制系統為正則時，給出直接傳輸運算元的解析表達式。進而，對適定系統討論其穩定性，給出能量的某種衰減率。本項目屬於偏微分方程控制的新題目，是數學與控制理論密切結合的典型事例，因此具有重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

本項目研究了偏微分方程控制系統的適定正則性、精確能控性、以及帶干擾的控制系統穩定性等問題。主要研究了四階 Schrödinger 方程在鉸支邊界情形下分別帶有 Dirichlet 邊界控制和矩邊界控制及同位觀測的控制系統、變係數四階 Schrödinger 方程在 Neumann 邊界控制和同位觀測下的控制系統，證明系統為適定正則的，並在控制系統為正則時給出了相應的直接傳輸運算元，進一步證明了所考慮系統為精確能控的，因此在已得到的適定結果下可直接獲得控制系統在比例反饋下為指數穩定的。研究了一類基爾霍夫型非線性梁的自適應鎮定和參數估計問題，根據控制端的速度和不確定輸入擾動的未知參數估計，設計了一種高增益自適應調節器，證明該系統是穩定的，估計的參數收斂於未知參數。另外，對邊界帶有干擾的控制系統穩定性問題做了一些研究，例如：波方程、熱方程、Schrödinger 方程等控制系統，並對所得結果進行了數值模擬驗證。本項目研究問題有較強的工程背景，獲得的結果對相應工程技術問題起理論指導作用。