《若干半線性橢圓偏微分方程理論及其套用》是依託上海交通大學，由周春琴擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：若干半線性橢圓偏微分方程理論及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周春琴
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
微分幾何和理論物理中很多重要問題的研究往往是轉化為非線性橢圓方程的研究，即研究方程的解的存在性、唯一性和正則性等方程的分析問題。本項目主要採用這種幾何分析的思想研究半線性橢圓方程理論及其幾何與分析套用。具體地. 首先，我們將展開帶奇點的半線性橢圓偏微分方程的blow-up分析、奇點的局部估計和相關問題解的存在性等方面的研究，進一步挖掘和創新非線性分析方法。. 其次，我們將展開帶奇點的半線性橢圓方程的理論和方法的幾何分析套用研究，比如對奇性曲面上的預定曲率問題提供分析估計、對奇性曲面上的一些幾何和分析不等式提供理論依據。我們將著重研究奇性曲面上的一些幾何問題,進一步完善幾何分析理論。
結題摘要
本項目主要按以下幾個方面的研究工作展開：一是帶奇點的半線性橢圓方程及其邊值問題blowup分析方法的研究，我們提出了帶奇點的超Liouville方程組，提出了新的奇點可去性定理並套用於能量恆等式的證明中，最終得到Brezis-Merle型的集中緊定理和能量恆等式結果。二是帶奇點的曲面上的常高斯曲率度量的存在性問題的研究，並將相關結果套用於通常劉維爾方程的Neumann邊值問題的blowup分析的研究中，得到了相關的Brezis-Merle型的集中緊定理。三是奇性曲面上的Moser-Trudinger型不等式以及相應的極值問題研究，得到一些階段性結果。四是Finsler-Liouville 方程的Blow-up分析方法研究，將相關結果套用於Moser-Trudinger型不等式以及相應的極值問題的研究中，結合水平集的方法得到了相關結論。另外還提出超Toda系統，考察了奇性黎曼面上的曲率流問題和奇性共形度量的等周不等式問題，期望來年獲得一些研究成果。在項目執行期間，我們積極地展開了學術交流活動，完成了13篇論文，發表了6篇論文，培養碩士生5人，協助培養博士生1人，在讀博士生3人。
