《偏微分方程解的凸性及其幾何套用》是依託湖南大學，由徐露擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程解的凸性及其幾何套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：徐露
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
偏微分方程解的凸性研究是一個經典主題，它在許多幾何和分析問題、方程解的唯一性、正則性和存在性等問題中都具有重要意義。常秩定理是處理凸性問題的一個強有力的工具,本項目我們將主要運用該定理來研究以下幾個問題：（1）常平均曲率方程Dirichlet邊值問題解的水平集凸性（2）Allen-Cahn 方程在全空間上行波解的幾何性態（3）丘成桐提出的黎曼流形上的凸性問題，希望推導出歐氏空間著名的幾何不等式在黎曼流形上的表達形式（4）凸性在幾何上的運用：凸區域上幾類橢圓方程超定邊值問題解的對稱性。 問題(1)涉及到了梯度退化，該情形下研究方程解的水平集的幾何性質是一個公開問題，也是目前已有結果都迴避的。另外常秩定理是一種微觀方法,可以處理無界區域甚至是黎曼流形上的凸性問題,這是我們將要探索的方向如問題(2)和(3)。對於問題(4)我們關鍵需要利用凸性來構造關於區域的Brunn-Minkowski泛函。
結題摘要
一、 利用凸性理論證明某些泛函的Brunn-Minkowski不等式，從而研究凸區域上p-laplace方程的超定問題解的對稱性； 二、 構造不同輔助函式，在L-p Minkowski問題，Minkowski 空間中 Fuchsian convex surfaces, 預定Hessian曲率方程, 共形k-Hessian方程上分別得到解的Liouville結果； 三、 研究一類最優輸運Monge–Ampère方程Dirichlet邊值問題，預定平均曲率方程斜邊值問題，對偶 Brunn–Minkowski 問題解的先驗估計以及存在性。
