狀態依賴時滯微分方程動力學研究

《狀態依賴時滯微分方程動力學研究》是依託湖南大學，由郭上江擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：狀態依賴時滯微分方程動力學研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：郭上江
• 依託單位：湖南大學

中文摘要

到目前為止已出現了大量的狀態依賴時滯微分方程模型，而現有動力系統相關理論卻不能直接用於其動力學研究。為此，一方面綜合運用現代數學知識，發展狀態依賴時滯微分方程（等變）分岔、不變流形及周期解理論，重點研究分岔解支的動力學性質，不變流形的存在性、光滑性和吸引性，以及周期解的個數、穩定性和時空模式等問題，使狀態依賴時滯微分方程動力學研究形成一套比較系統的理論和研究方法；另一個方面將新建立的理論和研究方法套用於現代科學及工程技術中一些用狀態依賴時滯微分方程描述的數學模型的定性研究，揭示這些模型豐富而複雜的動力學性質，為套用領域的工作者提供一些可靠的理論依據和解決問題的方法。該項目研究既要用到經典的動力系統理論，又要用到拓撲、代數、泛函分析及計算數學等相關知識，不僅可豐富動力系統理論，又可探索數學（尤其是泛函分析）及其交叉套用中的新思想、新理論和新方法，且可使不同數學分支學科之間進行相互交叉與滲透。

結題摘要

該研究項目對一些有代表性的狀態依賴時滯微分方程進行系統深入的定性研究，包括解的存在唯一性、解對參數的光滑依賴性、解的有界性與漸近性、平衡點和周期解的存在性、個數與穩定性，時滯對狀態的依賴關係對解的長時間性態的影響，以及系統參數和結構變化所引起的分岔現象等；發展了等變拓撲度定理，使之適用於狀態依賴時滯微分方程分岔理論研究；發展了不變流形理論，研究了不變流形的幾何結構，重點研究了局部不變流形的存在性、光滑性和吸引性；對於某些狀態依賴時滯微分系統，通過構造適當的緊狀態空間，使得系統的解構成一個連續半流，通過引進離散的Lyapunov 泛函分析了慢振盪解的存在性, 研究發現所有全局慢振盪解所形成的集合構成半流的一個全局吸引子；對於平衡態附近的局部不穩定流形，選取某平衡態的一個充分小的鄰域, 將它延拓為一個全局不穩定流形，通過分析該全局不穩定流形的零點集,證明了慢振盪周期解的存在性, 且它正好構成全局不穩定流形的邊界；利用不動點定理和噴射性研究了一類二階狀態依賴時滯微分方程的慢振盪周期解存在性；在指數二分假設下，證明了狀態依賴時滯微分方程擬周期解的持續存在性；對於某些狀態依賴時滯微分方程，證明了擬周期解的存在性和解析性，得到了其不變環面的穩定流形和不穩定流形。在將研究重點放在理論研究的同時，也十分注重對一些典型微分方程模型的動力學研究，例如：具時滯多層網路的模式形成和具雙時滯環狀網路的奇異性研究、格微分方程行波解研究、薛丁格泊松方程與基爾霍夫方程基態解和半經典解研究、具非局部時滯反應擴散方程穩定性與分岔研究等。迄今為止，項目負責人及其成員已經在國內外發表了有關此項目的研究論文35篇，其中33篇發表在SCI源刊上。另外，現已被SCI刊物接受、即將發表的論文有5篇，在Springer出版社出版專著1部（套用數學科學叢書184卷）。