脈衝時滯微分方程的周期解及數值計算問題研究

《脈衝時滯微分方程的周期解及數值計算問題研究》是依託東莞理工學院，由張丹擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：脈衝時滯微分方程的周期解及數值計算問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張丹
• 依託單位：東莞理工學院

項目摘要

脈衝時滯微分方程在很多領域具有廣泛的套用，如連續力學、種群生態學、電子學、核反應堆動力學及現代控制論等等，研究脈衝時滯微分方程的理論和套用具有非常重要的意義。到目前為止，許多專家學者對脈衝時滯微分方程的周期解、邊值問題等方面進行了廣泛地研究，但採用的方法通常是不動點理論，而用臨界點理論研究脈衝時滯微分方程的文獻很少。其次，也很少有學者在研究周期解存在性的同時，考慮此類方程的數值解及其穩定性和收斂性問題。 本項目旨在利用臨界點理論研究幾類脈衝時滯微分方程周期解的存在性與多解性問題，突出由脈衝生成周期解的問題研究，揭示時滯和脈衝擾動對周期解的實質影響，並利用幾何指標理論對解的個數進行估計，同時對脈衝時滯微分方程周期解的數值計算及其穩定性與收斂性問題進行研究。

結題摘要

本項目研究了幾類非線性脈衝時滯微分方程周期解的存在性和多解性問題。首先將臨界點理論套用到幾類脈衝時滯微分方程的求解問題中，成功建立了一類脈衝時滯微分方程的變分結構，得到該方程存在周期解的幾個充分條件；並將該類脈衝微分方程中帶時滯和不帶時滯的情形進行了比對，分析了時滯對脈衝微分方程周期解的存在性的作用。其次利用臨界點理論研究一類時滯微分方程存在由脈衝生成的周期解，得到了解存在的一些充分條件，考慮當脈衝與時滯同時起作用時，方程解的個數變化。 本項目也研究了脈衝微分方程在生物數學中的一些套用問題。首先研究了恆化器中一類生物生長的動力學行為，採用一個特定的抑制攝取函式，與單調增加吸收函式的模型不同的是：我們發現抑制動力學可以誘導非常複雜的動力學過程，包括穩定的平衡點、周期解和混沌（通過倍周期形成）。特別地，當輸入恆化器中營養液的濃度大於上盈虧平衡濃度值時，模型顯示出三種類型的雙穩態：一個穩定的平衡點與另一個穩定的平衡點或與穩定的周期解或與混沌吸引子共存。而當吸收函式單調遞增時，這種雙穩現象永遠不會發生。其次我們研究了恆化器中多種生物競爭生長的動力學行為，對營養液的濃度分兩種情況進行討論，顯示了很豐富的動力學行為。研究結果表明，優勝者是能夠以最低的營養濃度生長的種群，而且也表現出三種類型的雙穩態。其次我們也研究了微分方程在基因表達中的套用，例如基因表達過程中能量消耗原理和DNA環路相互作用的自由能消耗原理，揭示出基因表達幾個重要過程的能量消耗的一些一般性規律，有助於理解細胞的內部過程，可為新藥開發、合成生物學等奠定理論基礎。 本項目的研究結果豐富了臨界點理論和脈衝微分方程定性理論，進一步地推進臨界點理論的實際套用。