脈衝微分方程的周期解及其相關問題的研究

《脈衝微分方程的周期解及其相關問題的研究》是依託中南大學，由戴斌祥擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：脈衝微分方程的周期解及其相關問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：戴斌祥
• 依託單位：中南大學

項目摘要

本項目主要開展對脈衝微分方程的定性理論研究，包括套用臨界點理論（變分方法）來研究脈衝常微分方程的周期解的存在性與多解性等問題；建立Hilbert空間上含偏差變元泛函的臨界點存在性與多解性定理，並用來研究脈衝時滯微分方程的周期解的存在性與多解性；研究並建立隨機脈衝時滯微分方程的穩定性理論；開展對脈衝微分方程的套用研究，特別是對種群生態學中出現的各類脈衝微分方程或隨機脈衝微分方程模型進行系統深入的研究，揭示其內在的本質規律。開拓一些新的數學工具和理論，尋找和發展新的方法、新的思想。開展本項目的研究有著重要的理論意義和實際意義，因為它們會極大地豐富脈衝微分方程和隨機微分方程定性理論，將使脈衝微分方程和隨機微分方程的定性理論研究達到一個新的水平，並期待著其研究成果在實際問題中得到很好的套用。

結題摘要

脈衝微分方程是一類用來描述具有跳躍點（脈衝）的不連續發展過程的微分方程，它有著十分廣泛的套用背景，如控制論、醫學和生物學、火箭與宇宙飛船運動以及力學等領域中都會涉及到此類方程。本項目主要開展對脈衝微分方程的定性理論研究，其主要研究工作和取得的成果包括以下幾個方面：1、研究了具阻尼項的非線性脈衝Dirichlet邊值問題解的存在性與多解性，首次給出了該問題的變分結構，並利用極小極大原理、山路引理和環繞定理等臨界點理論給出了該問題解的存在性與多解性的若干充分條件，需要指出的是：即使當模型退化為非脈衝情況時，我們的結果依然是最新的；2、研究了帶有參數的非線性p-Laplacian脈衝Sturm-liouville邊值問題解的存在性與多解性，針對參數的不同取值給出了問題至少存在1個解、2個解、3個解和無窮多個解的若干充分條件；3、研究了非線性脈衝半直線邊值問題和周期邊值問題解的存在性與多解性，利用變分方法和噴泉定理，我們對非線性項和脈衝項是超線性的情形給出了上述問題有一個解或無窮多個解存在的若干充分條件，填補了這一研究領域的某些空白；4、研究了脈衝哈密爾頓微分系統Dirichlet邊值問題解的存在性與多解性，並初步開展了對由脈衝生成的哈密爾頓微分系統的某些特殊解（如周期解、同宿解、異宿解等）的存在性問題的研究，目前這方面的研究工作幾乎還是空白，我們在脈衝生成周期解的存在性問題方面給出了某些較好的結果；5、開展了對種群生態學等領域中出現的大量的脈衝微分方程數學模型的動力學研究， 基於生物學的思想，我們對已有模型進行改造，建立了新的具有時滯、年齡結構和擴散的脈衝捕食-食餌模型與競爭模型，給出了模型的持久性、全局穩定性、周期解的存在性與全局吸引性的若干新的充分條件。我們的上述工作大都發表在國際權威刊物上，其研究方法和研究手段具有一定的創新性，並開拓了某些新的研究方向；我們的結果極大地豐富了脈衝微分方程的定性理論，尤其是將臨界點理論套用在脈衝微分系統的定性理論研究中，使其理論研究達到了一個新的研究水平，同時在實際問題中也得到了很好的套用。