變分方法與脈衝微分系統周期解及同宿軌研究

《變分方法與脈衝微分系統周期解及同宿軌研究》是依託中南大學，由陳海波擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：變分方法與脈衝微分系統周期解及同宿軌研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳海波
• 依託單位：中南大學

項目摘要

變分方法是非線性分析中一種重要的基本方法，它在數理學科的許多領域都有重要且廣泛的套用。脈衝微分系統是微分方程研究領域中有重要實際背景的分支。近年來，國內外學者探索套用變分方法研究脈衝微分系統解的存在性，取得了一些有重要意義的新成果。然而，關於脈衝微分系統解的理論仍有許多有待研究和探索的重要的困難的問題，如解的多重性、周期解與同宿軌等。同時，在套用變分方法研究脈衝微分方程時，對於具體問題本質的困難和複雜性依然存在，故而，對脈衝微分系統理論的研究又反過來必然推動對變分方法研究的深入。本項目探索發展和運用變分方法研究脈衝微分系統的定性性質。通過發展和運用變分方法（如臨界點理論等），探求脈衝微分系統變分框架，研究脈衝微分系統（包括脈衝 Hamilton系統）解的存在性、多重性以及周期解與同宿軌。由此而產生的方法和結果的創新將不僅極大地豐富變分理論與脈衝微分系統理論，而且將促進相關學科的發展。

結題摘要

本項目發展和運用變分方法研究脈衝微分系統周期解與同宿軌的存在性及解的多重性，完整構建了脈衝微分方程的變分框架，系統解決了運用變分理論研究脈衝微分方程解的存在性時的一些關鍵理論和技術難題，如空間選擇、能量泛函估計等，得到了一系列運用通常拓撲方法所無法獲得的新結果。在二階、高階及p-Laplacian 脈衝微分系統脈衝產生的周期解和同宿解、帶脈衝效應的二階、四階及高階奇異微分系統的周期解和同宿解、特殊脈衝效應（障礙）的二階與p-Laplacian 微分系統的周期解、二階脈衝 Hamilton 系統的周期解和同宿解、具共振的二階脈衝微分方程三點邊值問題多解性、具脈衝條件的二階泛函微分方程周期邊值問題解的存在性、具阻滯的非線性脈衝微分方程的Dirichlet邊值問題解的存在生與多解性的研究，取得了較好的研究成果，已撰寫發表論文多篇。變分方法與脈衝微分方程理論的研究是非線性分析與微分方程定性理論及其套用研究的重要課題。近年來，國內外學者圍繞變分方法與脈衝微分方程解的存在性及性態的研究做了大量工作，特別是美國、英國、法國及西班牙等國學者在變分方法與微分方程（包括偏微分方程）的理論和套用研究方面很活躍。本項目的研究成果對於微分方程與動力系統的理論創新及套用研究乃至相關學科的發展(如控制論、數學生態學等的研究)均具有極其重要的意義。