《高階和脈衝微分方程邊值問題中的變分方法》是依託北京理工大學，由葛渭高擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高階和脈衝微分方程邊值問題中的變分方法
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：葛渭高
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
運用變分法中的極值定理，山路定理，鞍點定理，對偶原理，Morse理論，對稱性理論，對非線性微分系統的邊值問題，首先對至今研究甚少的Sturm-Liouville邊值問題（包括Neumann邊值問題和混合邊值問題以及帶p-Laplace運算元的常微分方程邊值問題）在建立弱導數的基本定理並確定所討論方程弱解定義合理性的基礎上，將臨界點理論和結合拓撲度理論結合，給出有解性和多解性的結果；之後在對L可積函式空間選取合適的的完備特徵函式系的基礎上，根據特徵函式系的性質研究高階微分系統邊值問題的有解性和解的範圍；在對二階微分系統研究逐段連續函式空間上兩點邊值問題特徵函式系色基礎上，得出一般線性脈衝條件下脈衝常微分系統邊值問題解的存在性判據。本課題旨在由建立變分法套用於常微分方程邊值問題中的基本引理入手，再從套用的角度拓廣變分法理論中的相應定理，作出具有創新性的成果。
結題摘要
常微分方程邊值問題的研究既有實際的套用背景，又有重要的理論意義。本課題在依據拓撲度理論和上下解方法研究常微分方程邊值問題的基礎上，重點在於運用變分方法和臨界點理論探討常微分系統和脈衝微分系統（包括高階微分方程和高階脈衝微分方程）的有解性和有多解性，並在研究方法上有所創新。研究工作的主要進展有：利用矩陣特徵值對Banach空間作子空間分解及山路引理，得到了微分系統混合邊值問題有解條件；通過引進新變數和辛矩陣將n-維系統化為2n-維系統，獲得Hamilton系統兩點邊值問題的有解性結果；通過函式與允許函式空間的區分，解決了Hamilton系統多點邊值問題構建變分結構的困難；在傳統的Banach空間中，通過合理選取閉子空間作為運用變分法的函式空間，得出了多解性條件。同時，也運用拓撲度方法對各類邊值問題的有解性作了深入探討，得出相應結果。在三年中，發表了29篇研究論文，其中有21篇發表於SCI收錄的國際學術期刊，8篇發表於國核心心期刊。在此期間邀請國外專家訪問講學，通過討論交流對京內若干高校青年教師提高學術水平有所助益。
