《臨界點理論在脈衝微分系統及相關問題中的套用》是依託北京郵電大學，由田玉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：臨界點理論在脈衝微分系統及相關問題中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：田玉
- 依託單位：北京郵電大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
脈衝微分系統是自然界、科學技術和工程套用領域中抽象出來的數學模型，因考慮到系統瞬時變化，更能反映實際問題。本項目擬結合非線性分析中臨界點理論和脈衝系統開展如下研究：（1）以往研究脈衝微分系統邊值問題的解，主要用傳統方法（拓撲度理論和上下解方法），我們研究新臨界點定理或把多個臨界點定理有機結合，建立脈衝系統解、正解和多個正解存在性結論；（2）深刻刻畫脈衝系統解的性質，建立脈衝系統有界解、對稱解和無窮多解存在性和漸近性；（3）研究高階脈衝微分系統和微分差分方程Sturm-Liouville邊值問題。本項目將對脈衝微分系統及相關問題的發展起促進作用，也將豐富和擴展臨界點理論和套用範圍。預期在有影響的期刊上發表或接受發表論文10-12篇，並培養研究生2-3名。
結題摘要
脈衝微分系統是自然界、科學技術和工程套用領域中抽象出來的數學模型，因考慮到系統瞬時變化，更能反映實際問題. 我們主要運用變分法和臨界點理論研究微分系統、脈衝微分系統、微分包含解、正解、變號解的存在性；高階脈衝微分方程邊值問題解、正解的存在性。此外研究差分方程邊值問題和分數階邊值問題解、正解存在性；反周期邊值問題，非自治哈密頓系統周期解。 （1）首先研究下降流不變集在微分方程Sturm-Liouville 邊值問題上的套用, 得到解、正解和變號解存在性結論。我們得到一個關鍵引理是能量泛函的臨界點等價於積分方程的解，積分運算元含有格林函式。我們的工作發表在SCI期刊Nonlinear Analysis上。與以往結果相比：確定了變號解存在性；如果我們用拓撲度理論和不動點定理研究，需要對f強加漸近線性和嚴格遞增的限制。本工作中沒有此類限制。我們工作包含了變號解存在性結論。 （2）首次將上下解和變分法套用到微分方程Sturm-Liouville 邊值問題，得到4個解和7個解的存在性判別結論。指出當所給上解為正，下解為負時，變號解存在。 （3）建立含脈衝的微分系統變號解存在性結論。把上下解方法和變分法相結合的思想推廣套用到脈衝微分系統，得到全新的結論。克服的困難是能量泛函的臨界點等價於積分方程的解，積分運算元含有對應的格林函式。 （4）首次運用非光滑臨界點定理建立含脈衝的微分包含的多個解存在性結論。克服的困難有：怎樣定義弱解，怎樣證明弱解正是原問題的解，由於脈衝出現如何證明常規性假設條件。對進一步研究含有脈衝的微分系統有借鑑意義。 我們的研究擴展了變分法的套用範疇，豐富了脈衝微分方程、微分方程的定性理論。 三年共發表論文16篇，其中SCI檢索10篇，EI檢索2篇，還有1篇論文錄用待發表。
