《臨界點理論及其在非線性偏微分方程中的套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由李翀擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：臨界點理論及其在非線性偏微分方程中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李翀
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究臨界點理論中一些最新方法，包括新的分裂定理和新的 Morse 不等式以及序區間和半個序區間山路定理，並且研究一些非線性方程中的一些前沿問題。具體研究包括：（1）研究新的臨界點存在性理論並在此基礎上研究非線性橢圓問題以及Hamilton系統多重解的存在性問題和分支問題。（2）建立新的單調公式以及Harnack微分不等式。（3）研究基態流形上帶磁場的Poincare不等式。（4）研究Fucik 譜及相應泛函的臨界點臨界群計算和跳躍非線性問題。這些理論及套用包括許多具有挑戰性的問題如區域高維情況下的 Fucik 譜線的基本性質的研究是長期以來人們關注的熱點問題，幾十年來進展甚微，我們希望利用一些新的思想和方法來研究這些問題。這些基本問題的研究和解決不僅會推動臨界點理論本身的發展，而且從定性和定量兩方面為研究非線性方程解的存在性，多重性以及變號性提供新的工具.
結題摘要
本項目針對非線性微分方程中的一些前沿分支所提出的理論問題研究非線性分析和臨界點理論中的一些新課題，具體如下：(1) 引進一種更弱條件下的隱函式存在性定理，它是經典隱函式定理的發展，可有效的用於研究分支問題，這裡只要求非線性映射在相應點開鄰域的稠子集上是Frechet可微的。(2) 推廣了經典的Poincare-Hopf定理和著名的Marino-Prodi定理，這本質上也是對Morse不等式的改進。(3) 研究具有更一般形式的跳躍非線性方程,計算對應的能量泛函在無窮遠處臨界群，並利用該結果獲得跳躍非線性問題多解存在性。
