《p-Laplace運算元Fucik譜理論及其相應跳躍非線性問題的多解性》是依託哈爾濱師範大學，由張晶擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：p-Laplace運算元Fucik譜理論及其相應跳躍非線性問題的多解性
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：張晶
- 依託單位：哈爾濱師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Fucik譜理論是用於研究跳躍型非線性問題的重要工具，目前已被廣泛套用於偏微分方程中。本項目以Fucik譜理論為背景，基於非線性泛函分析的理論基礎，以p-Laplace運算元方程為研究對象，圍繞p-Laplace運算元譜及其性質，重點研究p-Laplace運算元Fucik譜曲線性質，p-Laplace方程解的存在性和多解性問題。理論上，利用上下解方法，臨界點理論，Morse理論等技巧研究p-Laplace運算元Fucik譜曲線所圍成的(I)型區域和(II)型區域存在性條件，以其為研究p-Laplace方程解的問題提供更好的理論基礎。.本項目研究是Laplace運算元Fucik譜理論的豐富和發展，將為p-Laplace運算元多解性問題的研究提供更好的理論支持。
結題摘要
本項目以p-Laplace運算元方程為研究對象，重點研究了具有跳躍非線性項和非光滑位勢（半變分不等式）的p-Laplace運算元方程。 以Fucik譜理論為背景，基於非線性泛函分析和非光滑泛函分析的理論基礎，以上下解方法，臨界點理論，Morse理論等技巧為工具，圍繞p-Laplace運算元譜及其性質，分別刻畫了p-Laplace運算元Fucik譜曲線的結構及具有跳躍非線性項和半變分不等式的p-Laplace運算元方程的解集構成方式。對於具有跳躍非線性項的p-Laplace運算元方程，利用由上同調指數構造的一列特徵值，從而構造了譜集中一條非平凡曲線，為進一步研究p-Laplace運算元譜的結構奠定了基礎； 基於Morse理論和變分方法，考慮(a, b)落在 p-Laplace運算元Fucik譜曲線不同區域時，研究具有Dirichlet邊值條件的相應跳躍非線性問題非平凡解的存在性。對於具有半變分不等式的p-Laplace運算元Robin邊值問題，基於非光滑臨界點理論，通過變分方法和構造合適的上下解，獲得了至少三個非平凡解，其中一個正解，一個負解，以其為研究p-Laplace方程解的問題提供更好的理論基礎。
