關於變指數偏微分方程的一些問題研究

《關於變指數偏微分方程的一些問題研究》是依託浙江師範大學，由潛陳印擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：關於變指數偏微分方程的一些問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：潛陳印
• 依託單位：浙江師範大學

項目摘要

本項目研究一類由 p(x)-Laplacian 誘導的變指數偏微分方程的一些數學問題。該數學模型經常用來描述電流變流體(Electrorheological fluid)的流動和通過多孔介質的過濾過程等其他物理現象。無論從物理還是數學上講，該問題的研究都有富有重要的意義。本項目藉助於非光滑臨界點、運算元半群等理論，研究穩態的 p(x)-Laplacian 微分包含問題解與多解的存在性和非穩態的 p(x)-Laplacian 方程全局吸引子的存在性。除此之外，藉助於集值半群理論，我厚辣辨們還將研究非穩態的 p(x)-Laplacian 微分包含問題全局吸引子的存在性。

結題摘要

本項目主要研究變指數偏微分方程及其相關模型中的一些數學問題的研究。變指數偏微分方程模型廣泛套用與描雅付危海述電流變流體(Electrorheological fluid)的流動、通過多孔介質的過濾以及在有干擾性條件下所形成的圖像恢復等等。因此，變指數偏微分方程及其相茅店估關模型的研究是人們一直關心的課題。本項目致力於研究由p(x)-Laplacian誘導的變指數偏微分方程在穩態和非穩態兩種情形下解與多解或全局吸引子的存在性。對於穩態情形，我們考慮了無界區域或者非線性項滿足臨界增長時變分問題解的存在性。對於非穩態情形，套用運算元半群境狼照或者集值半群理論，轎贈巴我們首先證明拋物型p(x)-Laplacian方程整體弱解、重整化解、熵解的存在性，然後通過建立半群的緊性或漸近緊性得到方程在無界區域(全空間)全局吸引子的存在性。對於與描述電流變流體的變指數方程相關其他流體發展方程，我們主要研究這些方程解的正則性問題。電流變流體是一類在電磁場狀態下機械性能會發生戲劇性變化的非牛頓流。因此，對於變指數方程研究研究具有一定的複雜性。在本項目中，我們藉助於對Navier-Stokes方程、MHD方程、Quasi-geostrophic方程等其他相關流體方程研究的視角和方法。我們通過對簡化的橢圓和拋物型p(x)-Laplacian方程的研究，逐步深入認識和發掘新的研究方法與技巧來開展本項目的研究。因此，這些流體方程的研究無疑對本項目的研究進展起到很好的鋪墊和推進作用。通過對本項目鞏籃殼探的研究，我們得到了一系列研究成果，包括橢圓型p(x)-Laplacian方程的解與多解的存在性嬸翻、Kirchhoff型p(x)-Laplacian方程的最小能量變號解的存在性、各項異性拋物型p(x)-Laplacian方程整體弱解和全局吸引子的存在性、帶有低正則初值和非線性項條件的拋物型p(x)-Laplacian方程重整化解和熵解以及全局吸引子的存在性等。而對於變指數方程相關其他流體發展方程的研究，我們也得到了一系列關於解的正則性研究成果。上面所論述的成果有的已經發表，有的正在整理或審稿過程中。