《Hamilton系統的概周期解和閘軌道問題研究》是依託昆明理工大學，由張興永擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hamilton系統的概周期解和閘軌道問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張興永
- 依託單位：昆明理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Hamilton系統是數理科學、生命科學以及社會科學領域中一類非常重要的系統, 因其各種解的存在性問題研究關係到動力系統的動力學行為和分支理論的推廣和發展，所以長期以來備受數學家和物理學家的關注。本項目擬使用臨界點理論來研究Hamilton系統的概周期解、最小周期閘軌道和次調和閘軌道問題。具體地，構建合適的Banach空間並進行空間分解，分析Hamilton系統所對應的微分運算元的譜和特徵空間的性質，發展和套用臨界點理論中的Minimax原理、 Morse理論、疇數理論和指標理論等工具來建立一些新的臨界點的存在性、唯一性、多重性以及不存在性定理，並利用這些定理來研究Hamilton系統的概周期解、最小周期閘軌道和次調和閘軌道的存在性、唯一性、多重性以及不存在性問題。 . 本項目的研究不僅有助於Hamilton系統理論的發展，而且還將有助於臨界點理論的補充和完善，具有較高的學術價值。
結題摘要
Hamilton系統是數理科學、生命科學和社會科學領域中一類非常重要的系統，對其解的存在性與多重性問題的研究關係到動力系統理論的發展。本項目旨在發展和套用臨界點理論中的Minimax原理、Morse理論、疇數理論和指標理論等工具來建立一些新的臨界點定理，並利用這些定理來研究Hamilton系統的概周期解、最小周期閘軌道和次調和閘軌道的存在性、唯一性、多重性和不存在性問題。項目在執行過程中，主要是在二階Hamilton系統的概周期解方面取得了一些研究成果，而在臨界點定理的建立、一階Hamilton系統的概周期解以及Hamilton系統的最小周期閘軌道和次調和閘軌道方面，項目組並未取得相應成果。此外，結合研究概周期解問題所使用的一些研究技巧，項目組在非線性差分系統和非線性橢圓偏微分系統方面也取得了一些研究成果。具體地，我們獲得了如下七個方面的研究成果：① 在次二次增長條件和一些其他合理假設下，獲得了一類帶強迫項的二階Hamilton系統的弱擬周期解（一類特殊的概周期解）的存在性與多重性準則；②在超二次增長條件和一些其他合理假設下，獲得了一類二階Hamilton系統的弱擬周期解的存在性與多重性準則；③ 通過將Hamilton系統轉化為偏微分系統的思想，獲得了一類二階帶阻尼的Hamilton系統弱擬周期解的存在性準則；④獲得了一類非線性p-Laplace差分系統周期解的存在性準則及其解的範圍估計；⑤ 獲得了一類帶經典或有界同胚映射的非線性差分系統周期解的多重性準則；⑥在超p-次增長條件和一些其他合理假設下，獲得了一類帶經典同胚映射和擾動項的非線性差分系統同宿軌道的存在性準則；⑦在次線性Orlicz-Sobolev增長條件和一些其他合理假設下，獲得了一類非線性橢圓偏微分系統非平凡解的存在性與多重性準則。 本項目所取得的研究成果對於Hamilton系統理論、非線性差分系統和非線性橢圓偏微分方程(系統)理論的發展和完善有一定的促進作用。
