《哈密頓系統與辛幾何中的閉軌道》是依託南開大學，由張端智擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：哈密頓系統與辛幾何中的閉軌道
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張端智
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
周期解、閘軌道、同宿軌是Hamilton系統中的重要研究對象，辛道路Maslov型指標理論在Hamilton系統周期解和流形上閉測地線的多重性穩定性研究中發揮了重要作用。在之前的工作中我們建立了閘軌道的Maslov型指標及其疊代理論並在Seifert猜想和與之相關的閘軌道的多重存在性和穩定性的研究中取得較為重要進展。因為Hamilton系統和辛幾何之間有著自然的聯繫，在本項目中我們將致力於Maslov型指標理論的進一步發展以及在上述問題研究中的套用，同時研究辛幾何中一些相關的問題。具體如下：1.偶數維歐氏空間中緊凸超曲面上閉特徵的多重性和穩定性問題；2.偶數維歐氏空間中可逆緊凸超曲面上閘軌道的多重性和穩定性問題以及與Seifert猜想相關的問題；3.Hamilton系統中的同宿軌問題；4.辛幾何中和Weinstein猜想和Arnold猜想相關的問題。我們力爭在上述問題研究中取得突破性進展。
結題摘要
在這四年中我們致力於2n維歐氏空間中緊凸可逆超曲面上的閘軌道和閉特徵的多重性與穩定性、閘軌道的最小周期問題、環面上的閘軌道、奇異非線性橢圓方程等問題的研究。 （1） 我們建立了和完善了從恆等出發辛道路閘軌道邊值Maslov型指標的疊代理論。據此我們證明凸偶情形Seifert猜想成立，這是關於目前該猜想最重要的進展之一。 （2） 我們證明了若R2n中可逆對稱緊凸超曲面 上恰好存在n條閘軌道，那么其中至少兩條的平均指標是無理數。對n=2情形證明，若R4中可逆對稱緊凸超曲面 上恰好存在2條閘軌道，那么他們都是橢圓的，且其中一條是無理橢圓的。 （3） 我們研究了R2n中部分中心對稱緊凸超曲面上部分中心對稱閉特徵的We 多重性和穩定性問題，在一些兩面夾情形我們得到一些多重性和穩定性結果。 （4） 我們研究了2n維可逆環面上1-周期哈密頓系統閘軌道及次調和閘軌道解相關問題。我們證明：該環面上至少存在n+1條1周期的閘軌道；若所有1-周期 閘軌道都非退化，那么該環面上至少有2^n條1-周期閘軌道；進一步若設該環面上只有有限條1周期閘軌道且至多只有一條雙曲閘軌道，那么該環 面上存在無窮多條次調和閘軌道解。 (5)我們研究了閘軌道的最小周期猜想，最終我們能夠證明嚴格凸情形該猜想成立。 （6） 研究了一類奇異非線性橢圓型方程 Lazer–McKenna1991年首次提出了關於上述方程的Lazer–McKenna 障礙:這類方程有解若且唯若指數 p<3。此後許多數學家研究了方程有唯一解的各種條件。我們給出了p>1時解集合的局部描述，並展示了p=3在其中的角色，推廣了Lazer–McKenna1991的經典結果。
