非線性分析與辛幾何中的若干問題的研究

《非線性分析與辛幾何中的若干問題的研究》是依託南開大學，由劉春根擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性分析與辛幾何中的若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉春根
• 依託單位：南開大學

中文摘要

本項目將以非線性分析與辛幾何中的具有重要意義的幾個問題作為研究對象，利用非線性分析的方法，尤其是臨界點理論和指標理論，著重研究非線性哈密頓系統的周期解和具有Lagrange邊值的解的多重性以及穩定性問題，例如在固定能量面上閉特徵以及閘軌道的多重性和穩定性問題，這是辛幾何與非線性分析領域中的具有重要意義的一類問題。同時，還研究非線性偏微分方程中的具有變分結構的一些邊值問題的存在性和多重性問題，這些問題都具有明顯的物理學背景和幾何背景，有著現實的套用價值和理論意義。通過對這類問題的研究，對於進一步認識理解整體分析，微分動力系統，微分幾何尤其是辛幾何之間的相互聯繫具有重要意義。同時，通過這個項目，組織年青的學者跟蹤國際數學前沿研究方向和發展趨勢，並且有針對地研究其中的一些問題，對於培養數學專業高級人才具有相當重要的意義。

結題摘要

1.圍繞哈密頓系統固定能量面上的閉特徵的多重性與穩定性，包括閘軌道的多重性與穩定性問題開展工作。在這方面的研究工作中，近年來取得了顯著的進展和突破，我們近來證明了在對稱2n-1維凸能量面上， Seifert猜測是成立的，即證明了在對稱2n-1維凸能量面上至少有n條閘軌道，也就是在這種情況下給這個有六十多年歷史（1948）的著名猜想一個正面的回答。我們在這個方面的工作也是分三個階段完成的，第一個階段，建立與此問題相適應的指標理論和指標疊代理論，證明在非退化條件下，對稱2n-1維凸能量面上至少有n條幾何相異的閘軌道，並對一般情形得到[n/2]+1條幾何相異的閘軌道的下界估計。第二個階段，利用已有的疊代指標理論，通過對指標的細緻的分析改進上述下界估計，第三階段，取得下界為n的最佳估計，即完成此種情形的Seifert猜測的證明。 2. 研究哈密頓系統的一些非周期問題，例如P-邊值問題的指標理論，並成功地把這些理論用於研究時滯微分方程組的周期解的存在性和多重性問題的研究， 並成功地把這些理論用於研究時滯微分方程組的周期解的存在性和多重性問題的研究，取得了很有意義的成果。 3. 在辛幾何和辛拓撲方向的研究方面，對於具有對稱性的辛流形，我們建立了一種對稱辛容量理論，並由此研究了在更為廣泛的具有對稱性的緊切觸流形上，證明了閘軌道的存在性，把Weinstein猜測推廣到閘軌道的版本上來。 4. 利用臨界點理論，研究一些偏微分方程的邊值問題。