《多項式微分系統的定性分析與周期解分支》是依託上海大學，由胡召平擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：多項式微分系統的定性分析與周期解分支
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：胡召平
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在微分方程定性理論中，Hilbert 第十六問題的第二部分一直是大家討論的中心問題之一。然而，即使當n=2 時這個問題仍是懸而未決的。為此，我們轉而研究弱Hilbert第十六問題和所謂的局部Hilbert第十六問題，即環性數問題，而中心問題與可積性問題又與此密切相關。因此，本項目將著重討論下列問題：（1）理論推導並編程實現近哈密頓系統中心或（奇）閉軌附近的Melnikov 函式，從而具體研究某些帶小參數的多項式近哈密頓系統在平面上出現極限環的個數及其相互位置關係即局部Hilbert第十六問題；（2）討論帶非基本Bautin 理想的平面多項式微分系統中心或焦點的環性數的上下界問題，即局部Hilbert問題；（3）對某些帶脈衝或分段連續的多項式微分系統引入相應的Melnikov函式，並用以研究它們的周期解及其分支；（4）討論二維與三維多項式微分系統的可積性與可線性化性問題，並給出某些套用。
結題摘要
Hilbert第十六問題是微分方程定性理論中的中心問題之一，其中第二部分討論的是n次多項式微分系統極限環的最大個數H(n)及其相互位置關係。然而，即使當n=2時這個問題仍是懸而未決的，從而成為平面向量場理論中的一個經典問題。而可積性問題是平面向量場理論中的另一個經典問題，迄今對三次系統可積性的研究仍然沒有解決。本項目主要研究的問題與上述兩個問題密切相關。 本項目主要的研究內容和結果有：（1）可積性問題，改進和簡化了關於Lotka-Volterra型微分系統可積性的某些結果；（2）哈密頓系統的極限環分支問題，給出了幾類近哈密頓系統的極限環個數的結論，尤其是給出了三次哈密頓系統三階冪零中心在三次多項式擾動下分支出極限環的個數；（3）可積系統的極限環分支問題，討論了可積系統的冪零奇點的分類問題，並編程實現了阿貝爾積分（即討論可積系統極限環分支的分支函式）的泰勒展開式的計算。 這些問題都是當前微分方程定性理論中的核心問題，並對現有理論提出了某些方面的改進，具有積極的理論意義與一定的實用價值。
