混雜動力系統的回覆性及相關問題研究

《混雜動力系統的回覆性及相關問題研究》是依託四川大學，由李洪旭擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：混雜動力系統的回覆性及相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李洪旭
• 依託單位：四川大學

項目摘要

混雜動力系統的回覆性及其相關問題是現代數學中出現的一個嶄新的研究課題，其結果可以廣泛套用於自動控制論、電子學、計算機科學、生物醫學和種群生態學等眾多套用科學。本項目將結合拓撲動力系統理論、微分方程的技巧和泛函分析的方法，對此問題進行系統深入的研究，主要涵蓋以下內容：以具逐段常量微分方程為基本模型的混雜動力系統的一般回復性、概周期性和概自守性，特別是高階混雜動力系統的概周期性和概自守性，包括連續和脈衝混雜動力系統的連續和逐段連續的概周期性及其推廣回復性態，涉及相關解的存在性、唯一性、解集的結構、穩定性和漸近性等問題，並將上述研究結果套用於種群生態學和生物醫學等相關學科領域。其中許多問題的研究目前還處於初始階段，有的甚至處於空白狀態，亟待全面深入展開。本項目力爭獲得一系列有重要意義的研究結果，建立系統深入的理論體系，使混雜動力系統的回覆性及相關問題在理論和套用研究中獲得實質性的進展。

結題摘要

本項目系統深入的研究了混雜動力系統的回覆性及其相關問題。我們引入了具有周期間斷點的不連續概周期和概自守函式及相關的概念，對具有一般性逐段常量一階非自治微分方程解的有界性、概自守性、概周期性和漸近概周期性進行了深入的研究。研究了S^p加權偽概自守函式、μ-加權偽概自守（周期）函式和μ-S^p加權偽概自守函式的基本性質，並套用於半線性微分方程的研究。研究了時標系統的回覆性問題，給出偽概周期函式在時標系統上和實數系統上的關係，建立了時標上的Bochner-like變換，克服了傳統Bochner變換不適應時標系統的弱點，以此定義了時標上的Stepanov概周期函式，系統研究了Stepanov概周期函式和Stepanov偽概周期函式的相關性質，並套用於動力方程的概周期性和偽概周期性研究。在抽象Banach空間中，研究了具有扇形運算元的分數階微分方程周期解的漸近性，分數階積分方程全局解的存在性和吸引性，帶有多基點脈衝的非線性分數階微分方程的邊值問題解的存在性，具有有限時滯的中立型分數階微分方程S漸近ω周期解的存在唯一性。套用我們的理論結果研究了在藥物治療下的腫瘤細胞和細胞毒性T淋巴細胞之間相互作用的數學模型，得到了一些關於系統的局部和全局漸近穩定性的充分條件，證明了通過增加治療的強度來可以實現混沌區變窄的結論。得到了時滯對數種群競爭模型的正概周期解的存在性、唯一性和穩定性結果。本項目的研究在理論和套用問題的研究中取得了實質性進展。