《分段光滑系統的分支問題》是依託華僑大學，由皮定恆擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分段光滑系統的分支問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：皮定恆
- 依託單位：華僑大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Buzzi等學者在2010年證明了一類分段光滑系統的雙曲鴨環是雙曲極限環的極限集.他們對該分段光滑系統使用正則化過程和blow up 技巧得到了一個奇異攝動系統. 他們的結果意味著：鴨環是上述奇異攝動系統閉軌的極限周期集.他們提出了如下公開問題:希望利用在文[Dumortier,Roussarie,Canard cycles and center manifolds,Mem.Amer.Math.Soc,1996]中提出的幾何奇異攝動理論得到同樣的結論.本項目將首先致力於解決此公開問題,然後給出分段光滑系統鴨環的一般計算公式.本項目的第二個研究內容是對一類分段線性—三次Hamilton系統做深入地分支分析.當線性系統出現鞍點時,我們將給出此時系統能出現的極限環的個數.當線性系統出現焦點時,此時將出現滑動運動,結合幾何奇異攝動理論,我們將首次研究滑動尖點分支產生的極限環的個數及穩定性.
結題摘要
分段光滑系統在很多方面有著重要的套用：如在電子、控制論、生物學等方面都有著重要的套用. 本項目主要研究一些分段光滑系統的分支問題. 具體來說，項目組主要做了以下幾方面的研究工作. (1)皮定恆及其合作者研究了一類平面分段光滑系統，這類系統由一個線性系統和二次的Hamilton系統構成. 其中線性系統具有4個參數. 我們推廣和改進了[Dingheng Pi and Xiang Zhang,The Sliding Bifurcations in Planar Piecewise Smooth Differential Systems, J.Dynam.Diff. Eqns, 2013, 1001-1026,]中的結果. 此外，我們討論了線性系統出現虛焦點時，可以出現一個極限環，這部分是新的結果. 還研究了由一個線性系統和一個三次Hamilton 系統組成的分段系統的分支問題. (2)皮定恆及其合作者研究了一類平面分段光滑線性系統的分支現象, 這個分段光滑系統含有5個參數. 我們得出了至多可以從該分段光滑系統分支出兩個穿越周期軌. 此外，我們還給出了此系統出現滑動周期軌，穿越-滑動周期軌，滑動同宿軌 等滑動現象時參數滿足的條件. 據我們所知，在以前人們研究分段線性系統的分支現象時，sliding bifurcation 現象經常被忽略了，而這些分支現象應該引起人們重視. (3) 我們證明了：對於不連續邊界為一張超平面的 n 維分段光滑系統，如果其存在一個漸近穩定的（穿越或者帶有滑動運動）周期軌，則其正則化系統也有且僅有唯一的周期軌，並且當正則化參數趨於 0 時，正則化系統的周期軌趨近於原分段光滑系統的周期軌. 最近還將這部分結論推廣到具有餘維2的不連續邊界的分段光滑系統.
