《動力系統的可積、分支與嵌入流》是依託上海交通大學，由張祥擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：動力系統的可積、分支與嵌入流
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張祥
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題主要研究常微分方程的定性、分支和可積理論中幾個相關的問題, 其中大多是沒有解決的困難的公開問題. 這些課題是申請者研究工作的延續和深入. 具體研究內容如下：具有弱共振的無窮光滑和解析雙曲微分同胚的無窮光滑和解析嵌入流的存在性, 以及unipotent微分同胚嵌入流的存在性. 解析可積微分系統在退化奇點鄰域解析等價正規型的存在性, 以及廣義解析可積微分系統的解析等價正規型的存在性; Darboux可積理論的進一步改進和推廣. 平面多項式微分系統在dicritical情況下代數極限環的弱化Hilbert第16問題, 以及多項式Lienard微分系統代數極限環的存在性(這是Zoladek[Trans. Amer.Math.Soc.1998]沒有很好解決的問題). 一維quaternion常微分方程(高階Bernoulli方程和齊次方程)的整體動力學(不變環面和周期規的存在性及全局結構等).
結題摘要
本項目主要研究常微分方程和動力系統的定性和分支理論、可積理論以及嵌入流等方面的問題。課題組按照申請書的研究計畫開展了系統的研究，得到一些有意義的結果。主要結果發表在Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Anal., J. Nonlinear Sci., J. Differential Equations和Physica D等才戀鍵國際核心期刊上。現就研究結果涉及的幾個方面總結如下。 一、可積理論 利用微分域擴張和Galois群等理論和方法揭示了任意有限維多項式微分系統的Liouville可積與函式獨立的Darboux型Jacobi乘子的存在性之間的聯繫。這是M.F. Singer關於平面多項式微分系統Liouville可積的結果的推廣和發展。 Poincare證明了對具有Monodromy奇點的平面解析向量場，必存在解析或形式函式使得向量場作用到該函式上是由共振項構成的冪級數。我們推廣該結果到任意有限維解析或形式微分系統，並給出可積和部分可積系統的首次積分的漸近表示。 利用新的方法和技術證明了任意維光滑可積微分系統在全測度子集上等價於齊次線性罪和辨微分系統。 二、極限環分支和全局結構 發展了高維周期微分系統和分段光滑周期微分系統的平均理論，並套用其研究了自治漏影元微分系統的極限環和中心等問題。給出平面分段光滑微分系統從廣義同宿環分支出一個和兩個極限環的判定準則，以及平面線性加齊次的微分系統在焦點、鞍點、結點和冪零奇點外圍極限環數目最佳上界。 給出具有不變代數曲面的廣義Lorenz系統的分類及其全局拓撲結構雅組船，以及具有兩維中心流形和其上Monodromy奇點是中心和焦點的任意有限維解析微分系統與Jacobian乘子的存在性和光滑性的聯繫，並利用Jacobi乘子研只承匪懂究了奇點的Hopf分支。 三、定性理論和微分同胚嵌入流 完整地解決了多項式和三角多項式Riccati方程代數解的最大個數問題。刻畫了三維空間中一類退化微分同胚嵌入流的存在性。 四、 正規型理論及其套用 給出具有sigma中心的平面分段光滑微分系統的拓撲等價正規型，及其拓撲變換的分段光滑性。刻畫了非一致指數二多匪雄牛分的線性微分系統的譜及其正規型；並藉助該正規型給出非線性非自治微分系統的有限階正蜜只規型。解決了可積微分系統在奇點和周期軌道鄰域的解析等價正規型的存在性並給出其正規型的形式。
