《反應擴散方程組的自由邊界問題》是依託哈爾濱工業大學，由王明新擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：反應擴散方程組的自由邊界問題
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王明新
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
利用自由邊界問題描述物種的蔓延和傳播，在某種程度上可以彌補用行波解研究蔓延和傳播帶來的缺陷，不僅有具體的套用背景，而且也有重要的理論意義和較大的難度。本項目擬研究反應擴散方程組的自由邊界問題。首先研究捕食模型和競爭模型的自由邊界問題，探討解的存在唯一性、蔓延和熄滅的二擇一性質、解的漸近性質、蔓延準則和漸近蔓延速度。其次研究非線性反應項是指數函式、冪函式、非局部化和局部化函式的反應擴散方程組的自由邊界問題，討論解的整體存在性和有限時刻爆破，蔓延發生的條件和整體解的漸近性質，以及爆破解的爆破性質（爆破點集的結構、爆破時間和爆破速率的估計）。力圖在先驗估計、漸近分析、疊代、比較原理、上下解和輔助函式的構造等方法上有所改進和發展，取得一系列有特色和新意的研究成果，揭示和解釋一些重要的自然現象。
結題摘要
本項目系統研究了幾類來源於生態學和傳染病學的自由邊界問題。1. 捕食模型和競爭模型（常係數和變係數的L-V模型、比例依賴模型、L-G模型）帶雙重自由邊界、單自由邊界（一端固定）和不同自由邊界的自由邊界問題。給出了解的存在唯一性、正則性、蔓延-熄滅的二擇一性質、蔓延準則和解的部分漸近性質。發現了處理這類問題的一些新技巧和新方法。例如，當蔓延區間有限時，建立了對應分量趨於零的普適方法；建立了極具技巧的疊代格式用於研究解的漸近性；構造精細的輔助函式，給出了蔓延-熄滅的二擇一性質和蔓延準則。特別地，對帶有不同自由邊界的捕食和競爭模型，在蔓延發生的情況下給出了解分量的漸近性質、漸近傳播速度的估計和自由邊界的漸近速度的估計，發現了一些重要的傳播現象和結果。對於變係數的情況，發現了解的唯一性條件（係數函式關於空間變數是Lipschitz連續）。2. 通過研究方程式的特徵值問題和周期特徵值問題的新性質，成功地研究了係數變號的變係數和周期係數logistic方程的自由邊界問題，在較弱的條件下得到了較為精細的深刻結果。3. 研究了一類帶有自由邊界的傳染病模型，發現了疾病爆發和消失的條件。 結合研究生培養，還研究了：反應擴散方程組正平衡解的存在性、分支和穩定性，Hopf分支；帶強Allee效應的L-G捕食模型，得到了解的穩定性和漸近性的系統結果，以及時間周期解分支和非常數正平衡解分支。 受本項目的資助，2014年至2017年共發表論文35篇（全部被SCI檢索，其中有6篇是高被引論文，1篇是熱點論文），完成了英文著作Nonlinear Parabolic Equations的初稿。
