《帶自由邊界條件的反應擴散方程解的定性性質》是依託同濟大學，由婁本東擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：帶自由邊界條件的反應擴散方程解的定性性質
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：婁本東
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在物理學、生態學等領域的擴散問題中，經常會有自由邊界出現，因此帶自由邊界條件的反應擴散方程是一個自然的數學問題。目前已知的少數幾個研究結果顯示，跟全空間中的Cauchy問題、固定區域中帶Dirichlet或Neumann邊界條件的問題相比，帶自由邊界條件的問題可以有完全不同的舉動和豐富的新現象，對套用領域中一些問題的解釋也更加合理。本項目擬研究帶自由邊界條件的反應擴散方程解的定性性質。首先根據生態學等領域的一些實際背景提出合理的自由邊界條件和反應擴散方程，然後研究這些模型中解的定性性質。特別是對於具有單穩定、雙穩定、燃燒型等典型非線性項的方程，擬給出有界解收斂情況的詳細分析，給出自由邊界擴張的判斷條件並研究其漸近行為。目的是通過分析手段闡明解和自由邊界的漸近行為對於邊界條件和非均勻時空環境的依賴性。
結題摘要
帶自由邊界的反應擴散方程在生態學等領域中具有廣泛的套用背景，在數學上也具有豐富的新現象和一些技術困難。近年來這個方向形成了由華人數學家主導的研究熱潮，本項目圓滿完成了研究計畫，所得成果成為這個熱潮中的重要部分。 我們根據實際背景提出並研究了以下問題： 1. 系統地研究了均勻一維空間具有自由邊界的反應擴散方程. 給出了有界解收斂於平衡解的一般收斂性結果，然後將這一結果套用於具有單穩定、雙穩定或燃燒型非線性項的方程，給出了有界解spreading, transition和vanishing的三分性結果，以及關於初值的sharp threshold，也給出了spreading發生時解收斂於“半波”的證明。這些結果跟Du和Lin的文章一起，引領了一個新的研究熱潮。 2. 系統研究了均勻一維空間帶自由邊界的反應-擴散-對流方程. 得到了對流和自由邊界共存情形下解的漸近行為的完整刻畫，更重要的是我們發現了一個“蝌蚪”狀半波，對單個方程而言，這是第一個非單調行波。 3. 研究了具有Robin固定邊界條件和/或自由邊界條件的反應擴散方程. 給出了有界解漸近行為的完整分析。特別是利用集中緊性原理得到了一個向無限遠處移動的ground state解，其運動速度為1/t，這是一個精緻的新結果。 4. 其他類型的自由邊界問題等等。我們還研究了一維空間兩端都帶有角度的Stefan邊界條件的問題和兩個物種強烈競爭造成棲息地分離的問題。 通過這些比較系統的研究，我們闡明了自由邊界對反應擴散問題解的定性性質的影響，得到了一批精緻的結果，對生態學領域相關問題有一定的指導意義，在JEMS, AIHP, SIAM, JFA, JDE等期刊上發表了十餘篇高質量的文章，有些論文已經被引用超過50次。同時培養了一批優秀的研究生。
