非線性反應擴散方程的漸近行為及其隨機擾動

《非線性反應擴散方程的漸近行為及其隨機擾動》是依託華中科技大學，由湯燕斌擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性反應擴散方程的漸近行為及其隨機擾動
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：湯燕斌
• 依託單位：華中科技大學

項目摘要

經典的反應擴散方程在解釋各種自然現象中起到很重要的作用，同時豐富了偏微分方程理論框架體系。本項目主要研究來源於薄膜理論、熱爆炸理論、潤滑理論、火焰和波的傳播理論、大氣與海洋動力學演化理論等領域的非線性反應擴散方程，從無窮維動力系統的角度研究全局吸引子、指數吸引子或隨機吸引子的存在性，刻畫吸引子的分析和幾何性質。重點研究非自治外力、具有強非線性性的反應函式、無界區域、高階微分運算元、分數階拉普拉斯運算元等因素對非線性反應擴散方程解的漸近性態的影響，揭示隨機外力、不確定參數、隨機介質、隨機環境或隨機邊界條件、隨機輸入和隨機初始條件等對非線性反應擴散方程的平衡態、各種特殊解（如行波解等）附近流的演化行為的影響。刻畫高斯噪聲或非高斯噪聲對非線性反應擴散方程解的爆破時刻、爆破解在爆破時刻後的延拓存在性等性質的影響。探索非線性反應擴散方程隨機控制理論在種群動力學、神經場理論及金融經濟模型中的套用。

結題摘要

在發展方程解的正則性方面，我們研究了具有分數階耗散項的3維廣義不可壓縮Hall磁流體動力學方程Cauchy 問題解的全局存在性。由於Hall項的強非線性性, 不能直接利用MHD方程的相關結果，運用交換子估計處理Hall項時, 會出現壞的項，它既不能被磁場耗散項吸收, 也不能被正則項控制，克服了在低正則空間中速度場和磁場的一階導數不能由它們的Sobolev範數控制的困難, 我們證明了初值在低正則 Sobolev 空間中解的局部適定性和小初值解的全局存在性。在調和分析和Schrodinger方程方面，我們研究了一類帶高階Kato類位勢的分數階薛丁格運算元的L^p估計。對位勢屬於高階Kato類的分數階薛丁格運算元，我們給出了關於時間t的一個多項式上界估計，與自由情形的薛丁格運算元相比，無論是光滑指標還是時間t的增長階數都幾乎是最優的。同時，對整數情形的指標，我們得到了精確係數的一個高斯型上界估計；而對分數情形的指標，我們得到了多項式衰減估計。我們將Jensen等人關於二階Schrodinger方程（帶Kato類位勢）的L^p估計推廣到高階（整數階）情形及部分分數階情形，為此在整數階情形給出了相應的熱方程的某種最優基本解估計，以及藉助抽象解析函式的Laplace變換技巧給出了分數階情形下的相應估計。另外，我們給出了Goldberg等人關於L^p極限吸收原理的某種臨界情形及其對譜乘子定理的套用，同時還建立了分數階Schrodinger運算元的極限吸收原理。在發展方程的隨機擾動方面，我們研究了一類純跳意義下的期權定價模型，藉助與萊維過程相應的擬微分運算元、非局部偏微分方程等工具，利用Schauder 不動點定理，我們分別證明了歐式期權和美式期權定價問題的解在Holder 空間中的存在性，然後利用分數階熱核估計分別給出了歐式期權和美式期權定價問題所對應價值函式的正則性。同時我們還給出了層穩定過程 Levy-Khinchin 指數函式的漸近行為和層穩定過程的一些性質，在一些限制條件下，我們給出了偏微分-積分方程柯西問題解的短時間漸近行為。