《Swift-Hohenberg方程的斑圖動力學》是依託南京農業大學，由肖慶坤擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Swift-Hohenberg方程的斑圖動力學
- 依託單位：南京農業大學
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：肖慶坤
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Swift-Hohenberg 方程是由J.B.Swift和P.C.Hohenberg在1977年提出來的描述卷波的Rayleigh-Bénard不穩定性的模型，而後被用於物理學和力學中的大量系統的研究中，它的動力學性質，包括解的漸近行為、穩定性、定態分岔、動態分岔、空間斑圖與時空斑圖的形成、斑圖選擇及斑圖穩定性等是受到物理學工作者廣泛關注的。該項目著重研究Swift-Hohenberg方程的斑圖動力學性質，具體包括(1)解的漸近行為和動態分岔；(2)空間局部化徑向斑圖的存在性與穩定性；(3)無界空間區域上的空間局部化周期斑圖解的穩定性與時空斑圖的存在性等問題。主要運用無窮維動力系統理論、譜分析、分岔理論、空間動力學、幾何奇異攝動理論和多重尺度分析等對其動力學性質進行研究。
結題摘要
本項目主要研究了Swift-Hohenberg方程的斑圖動力學性質. 首先研究了含五次多項式和三次多項式的Swift-Hohenberg方程在一維區域(0,L)上Dirichlet邊界條件下的解u(x; t) 的漸近行為, 將alpha和區間長度L作為分岔參數, 證明了在一些分岔點處由平凡解分岔出非平凡解, 並由此得到使得平凡解穩定的參數L的範圍. 運用隱函式定理, 得到了平凡解在分岔點處的局部性態. 藉助於中心流形分析, 得到了當分叉點相距很近時, 原方程在中心流形上的約化方程, 細緻地刻畫了兩種不同的分岔結構, 並討論了分岔解的穩定性. 其次考慮了一類反應擴散方程組Gierer-Meinhard模型的Turing不穩定性和Hopf分岔問題. 得到了Hopf分岔的存在性, 穩定性以及分岔的方向. 通過中心流形分析和數值模擬討論了Hopf分岔的方向及穩定性問題, 得出了在某些參數範圍下, 平衡點和從Hopf分岔點分岔出來的空間齊次周期解會因為擴散項的出現分別從穩定變為不穩定。
