對無A-R條件的非局部橢圓型方程的研究

《對無A-R條件的非局部橢圓型方程的研究》是依託太原理工大學，由郭祖記擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：對無A-R條件的非局部橢圓型方程的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：郭祖記
• 依託單位：太原理工大學

項目摘要

變分方法是非線性泛函分析的主要工具之一，是現代數學的重要研究領域，在非線性微分方程等領域有非常廣泛和深刻的套用。但是，對於含有非局部項的非線性橢圓型偏微分方程，當非線性項不滿足超4次A-R條件時，微分方程所對應的能量泛函一般沒有(PS)條件，這時我們甚至不能得到(PS)序列的有界性。本項目擬研究的問題就是這些情形，具體內容如下：沒有超4次A-R條件的Kirchhoff方程基態解的存在性；沒有超4次A-R條件的Schrodinger-Poisson-Slater系統基態解的存在性。這時的微分方程是非局部的，套用通常的變分方法研究基態解的存在性和解的性質時會出現一些新的現象。這些問題既是重要的數學問題，處於國際非線性分析領域的前沿，同時也是非常困難的問題，解決起來需要新的方法和思路。本項目將結合變分方法，拓撲方法，截斷技巧和爆破技巧，對上述兩類偏微分方程進行研究，期待能作出出色的工作。

結題摘要

近年來，非線性非局部橢圓型偏微分方程吸引了研究學者們的廣泛關注，這是因為在解方程時套用標準的變分方法會遇到一些困難，比如(PS)序列的有界性。該項目研究了兩類沒有超2次Ambrositti-Rabiniwitz條件的非局部橢圓型偏微分方程解的存在性和多重性。對一類Schrodinger-Kirchhoff方程，在超線性次臨界增長的情形下套用變分方法特別是環繞定理和形變理論得到方程在反向位勢的情形下是沒有基態解的，但存在一個束縛態解。難點在於估計臨界值的大小和得到泛函滿足Palais-Smale緊性條件，並且在驗證泛函具有環繞結構時需要用到拓撲度理論和Cerami的重心技巧。同時還考慮了方程帶有多個臨界項的情形，研究發現臨界項具有競爭現象，高階項控制低階項，在不同的臨界指數條件下有不同的整體極小解和山路解。對另一類Schrodinger-Poisson-Slater系統，首先，在位勢函式在無窮遠處滿足一定的增長條件時可以得到一個新的嵌入定理。然後，套用截斷技術和一個修改版本的Clark定理，我們得到修正方程的一串範數趨於零的解。最後，通過做估計，我們得到這些解在最大值範數的意義下也是趨於零的，從而得到原方程的無窮多解。另一方面，通過套用分解Nehari流形的方法和Ekeland變分原理得到帶有變係數位勢的臨界Schrodinger-Poisson系統具有一個山路解和一個局部極小解。其中一個是整體Nehari流形上的極小，具有負能量，另外一個是負定Nehari流形上的極小，具有正能量。這種方法的核心需要用到流形的非退化性質。 該項目的研究使得我們清楚了上述兩類非局部橢圓型偏微分方程的解的存在性性和多重性, 以及非線性項對方程的結構的影響，特別是超4次Ambrositti-Rabiniwitz條件在保證非局部橢圓型方程解的存在性時不是必須的，僅需泛函滿足一定的幾何條件。該研究完善和補充了非局部橢圓型偏微分方程解的基礎理論，為廣大研究者提供了新的觀點和實例，具有一定的指導意義。依託該項目項目負責人出國學術訪問8個月，發表學術論文若干，培養了一批碩士研究生。