《兩類偏微分方程組解的漸近行為》是依託華東師範大學，由趙純奕擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：兩類偏微分方程組解的漸近行為
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：趙純奕
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
物質的微觀形態常常有助於我們了解事物的內在機制. 因此對漸近行為的研究具有重要的實際和理論意義. 本項目中, 我們將研究與非交換的Chern-Simons渦旋理論以及微分幾何等方向都有著密切聯繫的 Toda方程組. 在這方面我們已經有了一定的研究基礎. 我們將在已有工作的基礎上繼續對Toda系統做深入的分析和研究. 通過對Toda方程組標準bubble及其非退化性的充分利用, 力爭對Toda方程組的blow-up解序列的性態進行更精確地刻畫, 尋求blow-up解存在的條件, 並揭示區域拓撲對解存在性的影響. 此外, 我們還將研究Bose-Einstein凝聚模型, 深入分析不同凝聚態分離點附近的漸近性態, 分析區域對分離點的影響.項目的研究能豐富非線性偏微分方程組的理論，發展新的方法, 並且對高溫超導和量子理論中的一些的非線性現象提供深刻的了解.
結題摘要
本項目研究了以下兩類具有物理背景的橢圓型偏微分方程組. (1) 非交換自對偶的 Chern-Simons 數學理論 對於非交換的自對偶 Chern-Simons 渦旋, 經過一些合理的假設和變換, 這些渦旋在 Chern-Simons 耦合係數趨向於 0 時的漸近性態在數學上可以用 SU(N) 型 Toda 方程組來描述. 我們研究了 Toda 方程組的完全爆破解, 成功得到了 SU(3) Toda 方程組 blow-up 解關於參數的 blow-up 速度, blow-up 點的位置以及不再預期內的關於 blow-up 點存在性的另一個重要幾何限制, 從而初步了解區域拓撲與解的存在性之間的關係. 此研究工作的創新之處: 對於 Toda 方程組而言, 整體解中含有高達 8 個自由參數, 我們通過充分利用整體解的非退化性, 成功克服了傳統方法的不足, 得到了預期的一些結果, 而且這一想法理論上可以直接推廣至一般 SU(N+1) Toda 方程組的情形. (2) Bose-Einstein 凝聚的數學理論 量子理論中的 Bose-Einstein 凝聚現象是玻色子原子在冷卻到絕對零度附近時所呈現出的一種氣態的、超流性的物態, 上世紀二十年代由愛因斯坦和玻色預言的一種巨觀量子效應. Gross 和 Pitaevskii 提出了描述玻色子原子處於基態時量子系統的方程, 並且被廣泛地用來模擬 Bose-Einstein 凝聚. 當兩種凝聚之間的相互作用是排斥, 而每種凝聚的內部作用是聚集的時候, 兩種凝聚會表現出相分離的情形, 這無論在物理上還是數學上都是自然的結果. 我們考慮了兩種凝聚之間的具有非常強的排斥作用時一維空間中的解在分離點處的變化情況, 這一點具有很好的研究價值, 因為在奇點處數值模擬通常不能得到較精確的結果. 我們證明了一維空間中有界態實際上關於“排斥參數”一致有界的, 而且進一步得到有界態解關於“排斥參數”是一致 Lipschitz 連續的.這一現象是非常特別的, 因為在高維空間中目前最好只能得到一致Hölder連續性. 此外, 我們進一步得到了大排斥參數發生時解的漸近性態.
