《生物數學趨化現象及相關偏微分方程的若干問題》是依託東北師範大學，由李敬宇擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：生物數學趨化現象及相關偏微分方程的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李敬宇
- 依託單位：東北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究描述生物學中趨化現象的幾類偏微分方程組的數學理論。包括三類問題。第一類是研究行波的穩定性，我們擬研究四個具體問題：一是大波強、帶真空、任意擴散係數下波前的穩定性問題；二是行波穩定的收斂速度估計；三是脈衝波的穩定性；四是高維行波的穩定性問題。. 第二類是考慮增長項影響下趨化模型的模式形成和穩定性問題。包括高維行波的存在性和穩定性，高維非常數穩態解的存在性、形狀和穩定性，體積填充效應下高維模式形成問題，我們計畫分別考慮logistic增長和Allee效應兩種情形。. 第三類是研究流體力學對趨化模型的影響。具體包括四個問題。一是尖峰模式的存在性和穩定性；二是羽毛狀模式的產生機制，即證明Rayleigh-Taylor不穩定性；三是解的最優時間衰減率；四是解的最優時空衰減率。
結題摘要
在國家自然科學基金面上項目資助下，項目組發表10篇SCI檢索論文，指導畢業1名碩士研究生。在以下3個方面取得了重要學術進展。1.我們研究了半空間上帶有對數型敏感函式的生物趨化模型解的漸近形態。我們發現當細菌在邊界滿足內流條件時，該邊條件會選取行波，使得模型的解收斂到該行波。該結果描述了腫瘤滲透到血管的現象。該問題的難點在於行波一端連線真空，從而模型具有奇性；並且行波不滿足邊條件，導致邊界層的出現。我們採用Cole-Hopf變換和加權能量估計克服奇性困難；利用Matsumura-Mei方法選取合適的平移及邊界估計克服邊界層的困難。我們也研究了細菌在邊界滿足零通量條件，氧氣滿足Dirichlet條件時，半空間上趨化模型解的漸近形態。我們發現此時模型具有穩定的尖峰模式。該結果解釋了細菌在水滴表面的聚集現象。該問題的難點是Cole-Hopf變換帶來非局部項。我們利用方程結構，結合反導數方法，通過細緻選擇權函式，基於Hardy型不等式，同時克服了非局部和對數奇性帶來的困難。2.我們討論了阻尼Euler-Poisson方程組定常解的結構。該模型亦稱為半導體流體動力學模型。我們證明了，當雜質為亞音速時，系統具有亞音速解、超音速解；當鬆弛時間很大時，具有激波跨音速解；當鬆弛時間很小，並且雜質是常數時，系統具有光滑跨音速解。當雜質為超音速時，解的結構完全不同：此時沒有亞音速解；如果雜質很小或者鬆弛時間很小，系統也不具有超音速解和跨音速解；但是當雜質接近音速並且鬆弛時間很大時，系統具有超音速解和跨音速解。這2個結果表明，阻尼極大影響了可壓縮流體力學方程組解的結構。3.我們研究了阻尼隨時間退化的可壓縮Euler方程組的長時間行為。通過建立最大值原理，並基於凸性方法，我們發現存在臨界退化指標，當退化弱於臨界值時，方程具有大初值整體解；當退化強於臨界值時，與經典可壓縮Euler方程組類似，即使任意小初值的解亦會爆破。當退化弱於臨界值時，我們進一步證明了整體解具有長時間耗散效應，即解收斂到擴散波，並且得到了最優收斂速度。
