《彈性複合材料中偏微分方程組的研究》是依託北京師範大學，由保繼光擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：彈性複合材料中偏微分方程組的研究
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：保繼光
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著複合材料在國民經濟中的套用日益廣泛，有關複合材料數學理論的研究已經成為偏微分方程領域的一個國際熱點問題。彈性複合材料核心技術的改進與一類橢圓偏微分方程組的性質息息相關。這類方程組的主要特點是其主部係數不再具有整體連續性，而僅僅是分片常數(或連續)的。它對經典的偏微分方程組的正則性理論提出了挑戰。本項目將致力於研究內含物彈性係數為無窮的超彈力方程組解的梯度爆破速度，建立內含物彈性係數有限的方程組解的最佳梯度估計，精確刻畫材料應力大小與內含物彈性和間距之間的依賴關係，完善複合材料的破壞與失效機制理論，為材料科學提供堅實的理論基礎。同時，項目組將研究通過邊界的部分信息來復原線性彈力方程組係數的Calderón問題，這是反問題領域的一個重要公開問題。另外，與之相關的三維Eshelby猜想也是本項目的一個研究內容。基於已有工作基礎，項目組將在以上問題研究中取得突破性進展。
結題摘要
本項目組研究和討論了彈性複合材料中一類帶有部分無窮係數Lame方程組解的梯度的最佳上界和下界估計、對內含物係數為0或無窮的Eshelby猜想、一般的橢圓型和拋物型 Monge-Ampere 方程的解在無窮遠點漸近行為的分類、 具有一般的無窮遠漸近性的Hessian方程外問題解的存在性。一系列重要的結果在高水平國際SCI期刊《Adv. Math.》、《Arch. Ration. Mech. Anal.》、 《Trans. Amer. Math. Soc. 》、《J. Differential. Equations》、《Nonlinear Anal.》、 《Quart. Appl. Math.》等發表。共發表論文18 篇，順利完成了研究計畫。 主要研究成果有：（a）保繼光、李海剛和李岩岩合作率先建立了帶有部分無窮係數Lame方程組解的梯度的最佳上界和下界估計，回答了Babuska問題，精確刻畫了材料應力大小與內含物間距之間的依賴關係，完善了複合材料的破壞與失效機制理論。（b）王博，李海剛和保繼光合作研究了無窮的Eshelby猜想， 不僅完全解決了二維Eshelby猜想的極限情形，而且也給出三維Eshelby猜想的一個充分必要條件。（c）在解的漸近表示工作方面，保繼光、李海剛和李岩岩不僅徹底解決了具有一般的無窮遠漸近性的Hessian 方程外問題解的存在性，而且將其推廣到Hessian商方程， special Lagrangian方程（極小梯度圖方程）。另外，保繼光、李海剛和張雷一起合作對一般的橢圓型和拋物型 Monge-Ampere 方程的解在無窮遠點漸近行為進行了分類。
