《與可壓Euler方程耦合的幾類偏微分方程的數學理論研究》是依託廈門大學，由譚忠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：與可壓Euler方程耦合的幾類偏微分方程的數學理論研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：譚忠
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要圍繞與可壓Euler方程耦合的幾類偏微分方程，研究其解的局部與整體適定性、解的性質等數學理論問題。這幾類方程包括可壓Euler-Piosson方程、可壓Euler-Maxwell方程、可壓Euler-Korteweg方程以及與可壓Euler方程耦合的磁流體力學方程組。這幾類方程都具有強烈的物理背景，對它們的研究具有重要的實際意義。近年來，人們主要研究與Nacier-Stokes方程耦合的偏微分方程理論。但是與可壓Euler方程耦合的方程的數學問題，比之難度更大，目前還沒有固定的數學框架可循。儘管最近在可壓Euler-Piosson方程、可壓Euler-Maxwell方程的適定性和解的衰減估計方面有突破，但仍有許多問題需要解決。涉及Korteweg項的方程，其適定性和解的性質僅在幾個特殊情形下才有部分的結果，理論遠未完善。因此，對它們的研究具有完善偏微分方程理論的重要意義。
結題摘要
在初始數據的$H^3$範數充分小，但高階導數的$H^3$範數可以任意大的條件下構造了三維全空間中的具有阻尼的可壓Euler方程的唯一的整體解。同時，也考慮了時間周期解的存在性和唯一性。進一步地，我們研究了三維全空間中的可壓Euler-Poisson系統在靠近非平凡穩定狀態的光滑解的整體存在性和漸近行為。對三維全空間中的可壓非等熵的Euler－Maxwell方程,當初值在$H^3$中小但高階導數可以大時，得到了整體存在性。同時也研究了雙極的可壓Euler-Maxwell方程，在常數平衡態下，解的大時間行為。 證明在絕熱指數大於5/3時，可壓Navier-Stokes方程組弱周期解的存在性。考慮了三維空間非齊次不壓縮熱傳導的粘性流體，在初始密度有正的上下界和初始溫度任意大的假設下得到了全局適定性。同時也考慮通過多孔介質的可壓熱傳導流體的Cauchy問題光滑解的衰減估計。 考慮了外圍問題即可壓縮Navier-Stokes-Poisson 方程、可壓等熵和非等熵Navier-Stokes-Korteweg方程、可壓縮磁流體(MHD)方程、帶線性damping的可壓Navier-Stokes-Maxwell方程組的全局存在性、唯一性和大時間性態。也考慮了帶隨機外力的三維不可壓MHD方程組的強解的存在性。 建立可壓的可導流體的流體動力學模型，即廣義的Poisson–Nernst–Planck–Navier–Stokes系統。證明了局部古典解的唯一性，在小擾動下的全局解的唯一性，以及解和其任意階導數的最佳衰減率。 推導了在$R^3$中描述液晶流動力學發展的 Ericksen-Leslie 系統模型的簡化模型不可壓液晶流古典解爆破的 LPS 判據，定義了耗散項$D(u,d)$，然後得到了三維空間弱解的局部能量方程。並在二維情形得到 $D(u,d)=0$。利用三次逼近和弱收斂的方法得到弱解的存在性。 我們考慮了具有可控增長條件的二階非線性拋物方程組弱解的部分正則性,給出了在一個給定點的鄰域弱解時正則的一般性判據. 在卡諾群上的二階非線性橢圓系統的弱解的部分正則性。考慮了在周期域中3維可壓等熵的自引力流體弱解的正則性。證明了對於某個正的時間,得到了密度的上確界是有界的，下確界是正的結果。進一步地，我們利用Moser 疊代得到了速度的L無窮模估計。
