液晶與鐵磁材料領域的非線性偏微分方程研究

《液晶與鐵磁材料領域的非線性偏微分方程研究》是依託華南師範大學，由丁時進擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：液晶與鐵磁材料領域的非線性偏微分方程研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：丁時進
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

本項目研究液晶材料和鐵磁材料領域的非線性偏微分方程，即Ericksen-Leslie方程和Landau-Lifshitz方程。力圖建立較系統的存在性理論、正則性理論並對解的奇性進行分析。由於這幾類方程與調和映照及其熱流、Navier-Stokes方程、Maxwell方程組密切相關，同時因為它們的強非線性性，理論研究難度很大，因而受到數學界的廣泛關注。我們擬研究的問題包括解（含有限時刻爆破解）的存在性、弱解的部分正則性、解的奇點集合及其刻畫、解在奇點附近的性態、解的渦漩及其動力學性態等。深入研究這些問題不僅可以促進相關材料科學的發展，也可豐富和發展偏微分方程、幾何分析領域的理論、研究方法和研究技巧，具有重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

本項目研究期限為2011年1月至2013年12月。在執行期間，在Journal of Functional Analysis,SIAM J.Math.Anal.,Journal of Differential Equations, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, Science China-Mathematics等國內外權威刊物上共發表科研論文20篇，其中19篇被SCI收錄。主要成果：1、得到了粘性依賴於密度且具有真空和大初值的可壓縮Navier-Stokes方程一維初邊值問題的整體經典解的存在唯一性。對於Navier-Stokes方程的粘性極限問題，主要對Euler流中出現接觸間斷波或者既有激波又有固體邊界存在的情況做了研究。2、對於不可壓縮液晶與可壓縮液晶Ericksen-Leslie模型的適定性問題，率先證明了可壓縮模型在馬赫數趨於零的情況下的不可壓縮極限。把可壓縮與不可壓縮模型有機結合起來。並證明了輕微可壓縮模型整體強解的存在唯一性。隨後，率先提出了一維可壓縮液晶模型的自由邊界問題，並證明了整體經典解的存在唯一性。3、鐵磁鏈方程耦合Maxwell方程有限時刻爆破解的存在性。將丁時進和王長友在2007年發表在IMRN上關於Landau-Lifshitz方程有限時刻爆破解的存在性結果推廣到Landau-Lifshitz-Maxwell方程。在對於初始值給出一定條件的情況下，證明了存在有限時刻爆破解。4、證明了一維鐵磁鏈方程Robin邊值問題整體光滑解的存在唯一性。5、我們研究了一個可壓縮兩相流模型（Journal of Mathematical Fluid Mechanics，2012），證明了一維問題整體光滑解存在性唯一性。這是這種可壓縮兩相流模型的第一個整體存在性結果。