《隨機流與隨機偏微分方程中若干問題研究》是依託華中科技大學，由張希承擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：隨機流與隨機偏微分方程中若干問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張希承
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目擬研究一類非Lipschitz隨機Hamiltonian系統以及說盼堡一類具有Holder連續模妹提晚遙漂移項的隨機微分方程所定義的隨機微分同胚流性質，特別地，希望能套用到一大類隨機非線性弦方程以及隨機遷移方程的研究。隨後，我們將研究Banach空間上具有奇異核的隨機Volterra型積分方程以及相祖茅盛應的小擾動下的大偏差原理，這一研究的目的是希望能對一大類隨機偏微分方程建立一個統一的處理，這其中應能能包括分數次Brown運動所驅動的隨機偏微分方程，帶記憶的隨機偏趨檔重微分方程，隨機反應擴散方程以及隨機Navier-Stokes方程等。此外，我們也將研究一類具有多項式增長係數的隨機偏微分方程解的正則性（沿著空間方向的光滑性）以及帶跳的隨機偏微分方程。最後，我們也將套用隨機粒子軌道的方法研究Navier-Stokes方程以及多維Burgers方程。
結題摘要
本項目基本按照原計畫進行，到目前為止我們已取陵享殼乘得了以下階段性成果：1、採用Crippa與DeLellis的簡潔方法，我們推廣了DiPerna－Lions關於具有Soblev係數常微分方程的適定性結果到隨機微分方程的情形，並且研究了相應小擾動下的大偏差原理以及一個極限定理，我們也推廣到帶跳的情形。2、用相空間變換法, 我們證明了具有Sobolev漂移係數以及由Levy過程驅動的隨機微分方程解的存在唯一性. 特別的我們允許漂移係數具有第一類跳躍間斷點. 3、對於分式Navier-Stokes方程, 借用Constantin-Iyet的機率表示，我們用機率的方法明了局部解的存在唯料達一性, 同時在2維情形我們也得到了整體解的存在唯一性. 4、用Fefferman-Stein定理以及Fourier變換, 我們建立了非局部偏微分方程的L^p極大正則性理論.同時我們套用到臨界多維Burgers方程的研究, 獲得了光滑解的存在唯一性. 5、與王風雨合作獲得了退化擴散過程的導數公式,進而證明了相應的Harnack不等式.此外我們也研究了分數次擴散運算元在一階擾動下的雙邊熱民危閥核估計. 6、我們也用機率的方法研究了非局部積分偏微分方程解的存在唯一性. 同時獲得了解的機率表示。7、我們研究了具有無界退化係數的隨機偏微分方程解的適定性問題, 同時套用到非線性濾波中。8、我們研究了一般的隨機Volterra積分方程以及各類隨機偏微分方程解的存在唯一性以及在小擾動下的大偏差問題. 9、與董昭以及徐禮虎合作，我們研究了由\alpha穩定過程驅動的2維隨機Burgers方程以及NS方程不變測度的存在唯一性問題。
