面向流體力學的隨機偏微分方程的分析和漸近性質研究

《面向流體力學的隨機偏微分方程的分析和漸近性質研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由董昭擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：面向流體力學的隨機偏微分方程的分析和漸近性質研究
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：董昭
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

湍流是重大基礎科學問題。湍流的控制方程是Navier-Stokes方程。湍流的統計理論的目標是從最基本的物理守恆定律---N-S方程出發和連續性方程出發，探討湍流的機理。從物理上看，隨機偏微分方程對應的動力系統的極限狀態對應現實世界不同狀態。遍歷性是描述隨機動力系統的極限狀態的一種數學方法。支撐遍歷測度的區域是湍流發生的區域。湍流發生的規律可以從遍歷測度的性質加以分析。所以研究隨機擾動下的流體力學方程的遍歷性是認識湍流的一種重要手段。本項目以流體力學方程為背景，研究Levy過程驅動的隨機偏微分方程的解的各種性質，包括遍歷性、在不同拓撲下的指數收斂性、小擾動大偏差、占位時大偏差、隨機流、 半群的梯度估計與Harnack不等式、Dirichlet型的泛函不等式、不變測度的集中不等式等。本項目的研究不僅局限於隨機擾動下的流體力學方程，並力爭對一般的隨機偏微分方程發展出有效的研究方法。

結題摘要

本項目研究了兩類相關問題： 隨機流體力學方程；奇異的以及退化、路徑和分布依賴的隨機微分方程的分析性質.研究的問題之一: 隨機流體力學方程在隨機擾動下，基於流體力學方程解的分析性質和長時間行為，項目在隨機Navier-Stokes方程、隨機洋流體方程、隨機非牛頓流體方程、無粘性守恆率方程以及一般隨機偏微分方程的大偏差、遍歷性等問題做了深入的研究。獲得了系列創新性成果。研究的問題之二: 奇異的以及退化、路徑和分布依賴的隨機微分方程的分析性質.關於隨機偏微分方程各種性質的研究通常需要係數具有一定的正則性，而大量的現實模型是奇異的，並不滿足這些條件。因此刻畫奇異隨機系統的有關性質非常重要，近年來在有限維情形已取得許多進展。我們在奇異的隨機偏微分方程的正則性和遍歷性、退化、路徑和分布依賴的隨機偏微分方程的研究方面取得了一系列新進展。