《一類隨機偏微分方程解的存在唯一性和漸近性質》是依託江蘇師範大學，由劉偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類隨機偏微分方程解的存在唯一性和漸近性質
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉偉
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究一類具有單調或局部單調係數的隨機偏微分方程解的存在唯一性以及各種漸近性質。這一類方程包含了很多在數學物理、流體力學和生物學等領域有著重要套用的隨機偏微分方程模型，不僅具有重要的理論意義，同時也具有廣泛的套用背景。我們將使用變分方法分析和研究這一類隨機偏微分方程，在假設局部單調性條件和弱化的強迫性條件下證明方程強解的存在唯一性。我們將運用梯度估計和耦合等方法證明方程對應的轉移半群滿足Harnack 不等式，並在此基礎上得到轉移半群的各種遍歷性質。我們將使用弱收斂方法研究具有局部單調係數的隨機偏微分方程的大偏差性質，同時我們也將研究帶局部單調係數的隨機偏微分方程的隨機吸引子的存在性問題。
結題摘要
隨機偏微分方程理論及其套用是機率論的熱門研究方向之一。該領域不僅涉及經典偏微分方程和機率論(特別是隨機分析)的交叉研究，同時與其他數學分支(如動力系統、幾何分析等)也有著緊密的聯繫。本項目主要研究一類具有單調或局部單調係數的隨機偏微分方程解的存在唯一性以及各種漸近性質。我們系統研究了若干數學物理和流體力學等領域具有重要套用背景的隨機偏微分方程模型的適定性理論和各種漸近性質，建立了一個可以分析和研究一大類半線性和擬線性隨機偏微分方程的統一框架，並在此過程中發展了新的研究方法和技巧。同時，通過深入研究這些隨機偏微分方程模型解的多種漸近性質，揭示了相關流體力學模型的時空演化性質。 （1）我們通過引入一類廣義的強迫性條件和放寬局部單調性條件，得到了涵蓋一大類SPDE強解存在唯一性或局部存在唯一性的一般框架。 （2）我們引入一類Lyapunov型條件代替經典的強迫性條件，在此基礎上結合局部單調性條件證明了一類SPDE解的存在唯一性，同時還得到了一些經典SPDE解的新的正則性估計。 （3）我們將局部單調條件下Wiener噪聲驅動SPDE強解的存在唯一性結果推廣到一般Levy噪聲的情形。這一結果可以直接套用到流體力學和數學物理等領域一大類隨機偏微分方程模型。 （4）我們利用Yosida逼近等技巧證明了一類Levy噪音驅動的多值隨機偏微分方程強解的存在唯一性結果，並且得到了逼近方程解到原方程解的強收斂結果。 （5）我們運用布朗運動泛函的變分公式和弱收斂方法，研究了一類隨機quasi-geostrophic方程的小噪音和短時間的大偏差性質。這一類方程在地球物理和流體動力學等領域有著非常重要的套用。 （6）我們運用漸近緊性等方法證明了帶局部單調係數SPDE對應隨機動力系統隨機吸引子的存在唯一性。 本研究項目執行期間，我和Michael Roeckner合作出版了一本隨機偏微分方程方面的英文專著，本書系統介紹了隨機偏微分方程的經典變分方法和相關最新研究進展。
