《度量空間上的分析及其在函式空間中的套用》是依託北京師範大學，由蔣仁進擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：度量空間上的分析及其在函式空間中的套用
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：蔣仁進
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
調和函式與熱核理論、Riesz變換及函式空間理論是調和分析的重要組成部分， 這些理論在偏微分方程、幾何分析及數學物理等方向都有著重要的套用. 申請人及其合作者近年來研究了具有曲率下界的度量空間上的調和函式與Laplace方程，並將這些理論套用到等周不等式和Sobolev不等式的研究中；此外，申請人與合作者還研究了在不同背景下、相關於不同運算元的Orlicz-Hardy空間理論、區域上的Poincare不等式及區域的幾何性質與散度方程解的正則性之間的關係. 本項目擬進一步發展和完善具有曲率下界的度量空間上的調和函式和熱核的正則性理論, 並套用這些理論來研究度量空間上的Riesz變換的有界性. 此外，還將套用這些理論到歐氏空間中非Lipschitz區域以及非光滑子流形上, 研究其上的Hardy-Sobolev空間理論,帶邊值問題的Laplace方程解的正則性以及相應的Riesz變換的有界性.
結題摘要
調和分析為現代分析提供了解決問題的基本工具，其在偏微分方程和幾何分析等領域都有著重要的作用。在該項目中我們套用調和分析的基本工具研究度量幾何中的調和函式、熱核、等周不等式，以及微分方程中的輸運方程、散度方程都問題。 在項目的資助下, 我們已經(含接受)發表SCI論文16篇, 其中所發雜誌包括J. Math. Pures Appl.( 2篇), Calc. Var. PDEs, J. Funct. Anal., J. Differential Equations(2篇)等雜誌。此外, 項目負責人獲得教育部自然科學二等獎(第四完成人)。 具體研究內容包括：項目計畫中的:1、具有曲率下界的度量空間上的調和函式和熱核的正則性理論, 2、究度量空間上的Riesz變換的有界性，3、區域上的Hardy-Sobolev空間理論；在此計畫之外, 我們還研究了4、輸運方程、5、常微分方程、6、散度方程、7、Korn不等式、8、分數次Laplace方程。 具體地，在項目資助下，我們主要在以下幾個方面取得了研究進展及成果：1、建立了具有曲率下界的度量空間上的調和函式和熱核的正則性理論; 2、建立了有曲率下界的度量空間上Riesz變換的有界性；3、在一般的強Lipschitz區域上建立了Hardy空間及Hardy-Sobolev空間理論；4、在臨界條件下輸運方程解的存在性和唯一性、5、在臨界條件下常微分方程解的存在性、唯一性和正則性、6、 平面上單連通區域上散度方程解的存在性與區域的幾何性質的等價刻化、7、一些非光滑區域上Korn不等式、8、分數次Laplace方程解的性質(爆破點維數估計)。 在項目資助下，項目負責人曾獲歐盟Marie-Curie基金資助訪問西班牙巴塞隆納自治大學一年，並先後20餘次獲邀訪問國內外學術機構或在學術會議作報告。
