《基於Amalgam空間的Hardy空間實變理論及其套用》是依託北京師範大學，由楊大春擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於Amalgam空間的Hardy空間實變理論及其套用
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：楊大春
- 項目類別：數學天元基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
函式空間實變理論及其上的運算元有界性是調和分析研究的核心內容之一，已被廣泛套用於數學和物理的許多分支. 申請人及其合作者已研究了各種底空間上的Hardy空間實變理論, 包括變指標Hardy空間、(Musielak-)Orlicz-Hardy空間及其相關於運算元的變形空間的實變理論. 本課題擬在這些Hardy空間研究基礎上, 結合Hardy空間與廣泛套用於時頻分析的Amalgam空間，系統發展相關於(加權)Amalgam空間的Amalgam-Hardy空間實變理論, 包括原子和分子分解、Riesz變換特徵、Littlewood-Paley特徵、對偶空間及插值性質等. 在此基礎上, 進一步發展更一般的Amalgam型Besov-Triebel-Lizorkin空間，探討這些空間自身之間及與經典的模空間和Besov-Triebel-Lizorkin空間之間的密切聯繫, 並將其套用於運算元有界性的研究.
結題摘要
本課題原計畫研究相關於Amalgam空間的Amalgam-Hardy空間的實變理論, 由此為進一步研究更一般的Amalgam型Besov--Triebel--Lizorkin空間打下基礎. 項目執行期間, 項目組已系統地引入和發展了一套歐氏空間上相關於更廣泛的Orlicz-slice空間的Hardy空間實變理論. 這類Orlicz-slice Hardy空間的特殊情形即涵蓋了原研究目標空間Amalgam-Hardy空間, 因此已達成了預期研究目標. 此外, 本項目也在Hardy空間及其對偶乘積的雙線性分解理論和交換子的有界性與緊性、與運算元相關的Hardy-型空間實變理論、各向異性的Hardy-型函式空間實變理論、Musielak--Orlicz Hardy空間理論、齊型空間上的Hardy空間實變理論、高斯測度空間上的Sobolev容量理論以及Sobolev空間、Besov-型空間和Triebel--Lizorkin-型空間的球平均特徵七個方面獲得了進展. 具體包括: 完整地回答了歐氏空間和度量測度空間上的Hardy空間與其對偶Campanato空間的乘積的雙線性分解問題; 建立了各向異性混合模Hardy空間和各向異性變指標Hardy--Lorentz空間的實變理論, 其中前者回答了Cleanthous等人所提的幾個公開問題; 引入並研究了與滿足Davies--Gaffney估計運算元相關的變指標弱Hardy空間; 成功獲得了Musielak--Orlicz Hardy空間的小波分解特徵並建立了鞅Musielak--Orlicz Hardy-型空間的實變理論; 建立了齊型空間上的新的Calderón再生公式並由此完善了齊型空間上的原子Hardy空間的實變理論, 這完整地回答了Coifman和Weiss所提的一個公開問題; 得到了偶數階Sobolev空間、變指標Besov-型空間和變指標Triebel--Lizorkin-型空間的多種球平均等價特徵刻畫, 為在度量測度空間上引入並研究相應函式空間提供了新的可能的方式; 系統研究了高斯測度空間上的Sobolev容量的性質並用以在高斯測度空間上建立等容量不等式和Sobolev--Poincaré不等式的經典等價關係. 這些結果有望為調和分析、偏微分方程和套用調和分析等學科中的相關問題的研究提供新的工作空間和方法.
