流形上拉普拉斯運算元譜及相關問題研究

《流形上拉普拉斯運算元譜及相關問題研究》是依託蘇州大學，由王奎擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：流形上拉普拉斯運算元譜及相關問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王奎
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

拉普拉斯運算元譜是幾何分析中重要的工具和研究對象。本項目主要討論黎曼流形上的特徵值及相關的問題。..本課題將研究流形上 Laplace 運算元特徵值的比較不等式，包括 Cheng 型、等周型、PPW 型不等式，這裡將先討論黎曼面的情形，進而考慮一般的黎曼流形以及在幾何流中的套用。這類不等式的研究不但可以完善流形上譜運算元理論，也會為幾何分析的研究增添新的工具。在此項目中我們也將考慮一般非線性拋物方程黏性解連續性模的估計。該研究更具有幾何意義和前瞻性，因為通過連續模估計我們既可以得到特徵值不等式，同時也可以建立梯度估計，從而套用於拋物方程正則性的研究。..此外，本課題還將研究特徵函式的幾何性質。例如，特徵函式極值點的位置，黎曼面上特徵函式與曲率關係等幾何問題。這類問題也是用 PDE 研究幾何的重要內容。

結題摘要

本項目主要研究了幾何分析中關注較多的問題：黎曼流形上拉普拉斯運算元特徵值以及幾何流的相關問題。 在譜理論研究方面，本項目討論了一般流形上的Szego-Weinberger型不等式，得到了第一個非零的Neumann特徵值的上界估計；同時對緊緻（或者帶有Neumann邊界）的流形，我們用橢圓方法，重新證明了其最優的下界。此外我們還研究了一類黎曼流形上的拋物型frequency的單調性，將C.Poon和L.Ni的結果做到了更一般的流形上，同時也得到了在Ricci流下一個相關的特徵值估計。本項目還研究了Ricci流和高斯曲率流相關的問題。我們證明了4維完備梯度型收縮性Ricci孤立子如果滿足迷向曲率為正時，則它只能是4維球面或者柱形 S^3*R，以及他們的quotients。這個結果去掉了之前分類結果的一些額外的曲率條件，是最優的分類結果。 對於了 次a的高斯曲率流，本項目研究了該曲率流的無窮遠漸近性態，將Oliker在1991年的工作推廣至更一般的高斯曲率流。本項目的研究成果豐富，完善了目前黎曼流形上橢圓運算元特徵值比較的理論，同時也解決了當下幾何分析中大家關注的問題，如Ricci孤立子的分類問題。本項目的研究成果為後續的研究提供了有力的工具，同時本項目的研究方法比較新穎，在後續的研究中都有很多的套用。 本項目在國際知名期刊上發表SCI論文5篇，同時在所研究的領域內取得比較重要的研究成果。