完備黎曼流形上Laplace運算元的特徵值估計及相關研究

《完備黎曼流形上Laplace運算元的特徵值估計及相關研究》是依託鄭州大學，由齊學榮擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：完備黎曼流形上Laplace運算元的特徵值估計及相關研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：齊學榮
• 依託單位：鄭州大學

項目摘要

Laplace運算元是黎曼流形上最重要的二階橢圓型運算元，也是流形上幾何分析研究的主要對象之一。從上世紀50年代開始，Laplace運算元的特徵值問題的研究已經成為微分幾何的重要內容，在數學、物理學與工程等方面有著廣泛的套用。本項目主要研究完備黎曼流形上Laplace運算元的Dirichlet特徵值問題、Neumann特徵值問題和Buckling問題，重點關注這些特徵值問題的特徵值對流形的幾何和拓撲的依賴性。在現有基礎上，項目組成員將對完備黎曼流形的有界區域上的這些特徵值問題進行深入、系統的研究，目標是通過儘可能明確的幾何量，例如區域的體積，直徑，以及有關的曲率量來給出特徵值儘可能精確的上界和下界估計。尤其是，當把這些特徵值問題限制在歐氏空間中的一些特殊子流形上考慮時，必將能得到更為精確的上界和下界估計。

結題摘要

Laplace運算元是黎曼流形上最重要的二階橢圓運算元，也是流形上幾何分析研究的主要對象之一。從上世紀50年代開始，Laplace運算元的特徵值問題的研究已經成為微分幾何的重要內容，在數學、物理學與工程等方面有著廣泛的套用。本項目主要研究內容和取得的主要結果如下：(1) 對於n維歐氏空間中的有界區域，本項目組研究了Laplace運算元的Dirichlet特徵值問題，得到了高階特徵值的下界估計和低階特徵值的上界估計，推廣了Melas (Proc. Amer. Math. Soc. 2003) ，Kovarik-Vugalter-Weidl (Commun. Math. Phys. 2009) 和Chen-Zheng的結果(J. Diff. Eqns. 2011)。(2) 對於空間形式中的n維閉子流形M，本項目組研究了更一般的二階橢圓運算元L_r的特徵值，得到了低階特徵值的一個不等式。而且證明了，當空間形式為歐氏空間時，不等式取等號若且唯若M是(n+1)維歐氏空間中的球面；當空間形式為球面時，不等式取等號若且唯若M是球面中的極小子流形。這些結果推廣了Alencar-Carmo-Rosenberg (Ann. Glob. Anal. Geom. 1993)和Grosjean (Differential Geom. Appl. 2000)的結果，他們的結果只給出了余維數為1時第一個正特徵值的上界估計，本項目的結果是任意余維數，而且是前n個特徵值的上界估計。 (3) 對於歐氏空間中的緊緻self-shrinker，本項目組得到了二階橢圓運算元L_r的低階特徵值的上界估計，這些結果推廣了Cheng-Peng的結果（Commun. Contemp. Math. 2013）。