《黎曼流形上的特徵值及相關問題研究》是依託河南師範大學，由黃廣月擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：黎曼流形上的特徵值及相關問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃廣月
- 依託單位：河南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
黎曼流形上的特徵值在幾何與物理上都有非常重要的套用。近來，Laplacian運算元的特徵值研究已成為熱點。本項目旨在研究黎曼流形上特徵值的萬有估計，即所得到的估計式不依賴於區域的大小和形狀。本研究的難點在於其最優性，即是否存在某些區域，使得所得到的特徵值萬有不等式在此區域上成為等式。本項目擬研究黎曼流形上特徵值的萬有不等式以及最優性問題，主要研究內容如下：對於Clamped Plate特徵值，考慮其在黎曼流形上的萬有估計以及在哪些流形上達到最優；對於Buckling特徵值，一方面考慮其萬有估計以及最優性問題，另一方面，通過構造新的實驗函式，考慮其前兩個特徵值的最優性問題。擬採用的基本思想是通過構造好的實驗函式，利用Rayleigh-Ritz Principle 以及特殊流形的結構建立特徵值之間的關係式。
結題摘要
本項目的支持下，考慮了歐氏空間中的緊緻子流形上Dirac運算元的特徵值估計，推廣了Anghel[1993, Proc. Amer. Math. Soc.]的結果。研究了雙曲空間上雙調和運算元的特徵值問題，利用Cheng-Yang[2009, J. diff. Equ.]引入的試驗函式，得到了此問題的萬有估計式。還考慮了球面區域上buckling特徵值問題，通過引入一個新的參數和利用Cauchy不等式，最佳化了Wang-Xia[2007, Comm. Math. Phys.]的結果。對於球面中具有常平均曲率的超曲面，給出了穩定運算元的特徵值與Hodge拉普拉斯在1形式上特徵值之間的關係式。另外，還得到了穩定運算元的特徵值與rough拉普拉斯的特徵值之間的比較關係式。 還研究了porous medium 方程正解的梯度估計，得到了Li-Yau類估計。特別的，所得到的結果推廣了Lu- Ni-Vázquez-Villani [2009, J. Math. Pures Appl.]和Li-Xu[2011, Adv. Math.]等的結果。另外，還考慮了一類非線性拋物方程的正解的梯度估計，得到了Li-Yau類估計。而且，所得到的結果推廣了Li-Xu[2011, Adv. Math.]的結果。 我們引入了quasi Yamabe gradient solitons的新概念，利用Cao-Chen的思想，推廣了Dakalopoulos-Sesum[2013, Adv. Math.]的部分結果。還研究了(m, ρ)-quasi-Einstein流形在緊緻情況時的一些剛性結果。另外，給出了Bach張量平坦情況下的一些分類。
