《黎曼流形的譜及其相關問題的研究》是依託復旦大學，由丁青擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：黎曼流形的譜及其相關問題的研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：丁青
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們的研究內容分為兩個部分，第一部分是圍繞經典離散譜即特徵值問題進行探討，我們關注的問題是雙調和運算元的第一Dirichlet（或者Neumann）特徵值的等周不等式性質。在該問題的研究中Talenti和Ashbaugh分別證明了當n=2和3時雙調和運算元的第一Dirichlet特徵值具有等周不等式性質，而一般維數的第一Dirichlet特徵值的等周不等式和雙調和運算元的第一Neumann特徵值的等周不等式仍然沒有得到解決。我們期望通過本項目的申請和支持，在該問題的研究方面取得實質性的進展。在這當中我們還將嘗試運用現代數學的思想方法，如Ricci流的技巧來進行特徵值問題的研究。第二部分是圍繞與譜相關問題的研究，重點將放在 1.繼續採用幾何方法對半經典離散幾何方程的量子混沌等非線性現象的進行研究，這是與帶位勢的譜問題相關的問題；2.流形上的函式性質及其相關的雙曲性的研究。
結題摘要
調和函式可以看成譜為零的Laplace運算元的特徵函式，我們在完備單連通的非正曲率的黎曼流形上證明了一個有界調和函式的存在性定理，這一定理能把截面曲率介於兩個負常數之間的流形、第一類典型域RI（n,n）（n＞1）以及第二類典型域RII（n,n）（n＞1）的已知結果作為其特例，從而部分回答了Yau的第二個120問題集中的第47問題（發表於Math. Ann. 見[1]）。在與譜參數相關的研究問題中，我們就流體力學的vortex filament理論中出現的二階和三階逼近，利用para-Kahler幾何的理論，進行了完整的幾何刻畫（參見[2-5]）。我們還就具有不可縮伸縮商擬共形映射的進行了研究，提出了具有弱不可縮伸縮商擬共形映射的概念，並且證明了其存在性，使得該類問題的研究取得了一定的進展（參見[6,7]）。要指出的是，我們關於雙調和運算元Δ2的特徵值的等周不等式的研究方面還沒有取得預期的進展。
