黎曼流形上的多調和運算元的特徵值萬有不等式

《黎曼流形上的多調和運算元的特徵值萬有不等式》是依託南京理工大學，由孫和軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：黎曼流形上的多調和運算元的特徵值萬有不等式
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：孫和軍
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

微分運算元的特徵值估計是流形上分析的前沿研究課題之一。作為一種重要的解析不變數，微分運算元的特徵值是我們探究微分流形內蘊性質的一種重要工具，對其進行研究具有重要的幾何意義。本項目將在前期完成的對Laplace運算元的特徵值估計研究的基礎上，拓展研究黎曼流形上的多調和運算元的特徵值問題。通過構造流形上的試驗函式，推導特徵值的一般不等式；利用代數不等式和分析工具，獲得特徵值萬有不等式；進而給出特徵值的上下界、相鄰特徵值的譜隙估計等結果。從而，豐富特徵值估計的研究方法和結果，增加對黎曼流形幾何性質的了解，推動流形上分析問題研究的深入，促進幾何、分析、代數相關理論的發展。

結題摘要

本項目利用幾何、分析和代數的工具和方法對黎曼流形上的多調和運算元的特徵值問題進行了研究。研究的流形包括黎曼流形、歐氏空間、球面、容許特殊函式的黎曼流形、齊次黎曼流形、容許球特徵映射的黎曼流形、歐氏空間與黎曼流形的乘積流形、Heisenberg群等，研究的微分運算元涉及任意階的多調和運算元、帶有變係數的高階橢圓運算元、重調和運算元、Laplace運算元、二次多項式運算元、Lamé系統等。本項目探究了黎曼流形上的Laplace 運算元與多調和運算元、高階橢圓運算元的特徵值問題在研究工具、方法和技巧上的區別與聯繫，獲得了特徵值的一些萬有不等式、特徵值的上下界和譜隙估計等結果。本項目的研究豐富了特徵值估計的研究方法和結果，增加了對黎曼流形幾何性質的了解。