《非光滑度量測度空間中的Harnack型不等式和Riesz變換》是依託四川大學，由黎懷謙擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非光滑度量測度空間中的Harnack型不等式和Riesz變換
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黎懷謙
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Harnack型不等式自王鳳雨在Ricci曲率有下界的黎曼流形上建立起，已備受關注。Riesz變換更是分析學研究的重點，在黎曼流形上有大量的研究。Ambrosio等最近在非光滑度量測度空間中提出了比Lott-Sturm-Villani意義下的Ricci曲率下界更強的黎曼曲率下界，使得從Bakry-Emery和Lott-Sturm-Villani兩種不同角度定義的Ricci曲率下界統一起來。此項目主要考慮在具有黎曼曲率下界的非光滑度量測度空間中，用半群方法建立對稱和非對稱擴散半群的Harnack型不等式，並用分析方法研究熱流的生成元的Riesz變換的有界性；同時，考慮到維數的影響，也用半群方法建立熱流的帶維數的log-Harnack不等式；進一步地，給出Harnack型和帶維數的log-Harnack不等式的一些套用，如建立運費不等式，log-Sobolev不等式和帶維數的HWI不等式等。
結題摘要
自從黎曼曲率維數條件提出以來，度量測度空間上的幾何與分析得到了豐富的發展. 本項目主要研究了度量測度空間上的分析性質，並取得了以下一些進展. 1.在滿足無窮維黎曼曲率維數條件的度量測度空間中建立了Harnack型不等式(又稱為與維數無關的Harnack不等式)，並給出了其在Log-Sobolev不等式, 傳輸不等式, 半群的三種超壓縮性方面的套用. 2.在滿足維數有限的黎曼曲率維數條件的度量測度空間中，給出了熱核的高斯型上下界估計, 熱核的梯度估計, 研究了熱核的長時間漸近行為，並證明了Riesz變換的L^p有界性. 進一步, 在假設體積最大增長的條件下，給出了更精細的熱核上下界估計, 並研究了Perelman熵的單調性及其長時間漸近行為. 3.在光滑的加權黎曼流形上，分別給出了加權p-Laplacian的非平凡第一Dirichlet和Neumann特徵值的新的下界估計; 此估計在Laplacian的情形是一致的. 4.在歐氏空間中，考慮了擴散係數一致非退化的隨機微分方程, 當漂移係數分別滿足Holder連續性和LPS積分型條件時, 建立了Harnack型不等式和Log-Harnack不等式; 對於係數滿足Osgood-Sobolev條件的常微分方程, 證明了DiPerna-Lions流的存在唯一性. 5.用機率的方法證明了基本譜系猜測.
