流形上的幾何與拓撲的若干問題研究

《流形上的幾何與拓撲的若干問題研究》是依託浙江大學，由許洪偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：流形上的幾何與拓撲的若干問題研究
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：許洪偉
• 項目類別：面上項目

項目摘要

開拓、深化幾何分析、整體黎曼幾何的一些現代方法,研究黎曼流形的幾何結構與拓撲結構及內在聯繫,證明流形的比較定理、拓撲球面定理、微分球面定理、剛性定理和拓撲有限性定理；研究幾何量、分析量、拓撲量的內在聯繫,定量刻畫流形的幾何特徵和拓撲特徵；在Brendle-Schoen新近工作的基礎上，研究曲率積分拼擠條件下Ricci流的收斂性定理及其在曲率與拓撲中的套用；研究高余維平均曲率流及其在曲率與拓撲、廣義相對論中的套用，推進源於空間形式中平行平均曲率子流形剛性定理的廣義Andrews猜想研究；推進反平均曲率流與黎曼型Penrose不等式研究，推進關於漸進平坦空間的Huisken-Yau 理論研究；研究黎曼流形上特徵值、熱核的最佳化估計及其套用，探討流形的特徵值對流形的幾何結構與拓撲結構的影響，推進緊緻帶邊流形上高階特徵值的廣義Polya猜想研究。本課題屬國際前沿學科,在許多研究領域有重要套用。

結題摘要

本項目研究了黎曼流形的曲率與拓撲、整體幾何和幾何分析。對關於流形逐點曲率拼擠的丘成桐猜測給出了反例。提出並推進了關於逐點曲率拼擠的新版丘成桐猜測的研究。特別地，證明了四維情形的新版丘成桐猜測。獲得了關於正數量曲率黎曼流形的新的微分球面定理。在數量曲率弱拼擠條件下證明了常曲率空間形式中完備子流形的最佳微分球面定理與分類定理。將弱拼擠條件下的Brendle-Schoen微分剛性定理推廣到黎曼流形中具任意余維子流形的情形。證明了Ricci曲率拼擠條件下空間形式中緊緻子流形的最佳拓撲球面定理和微分球面定理。在更弱的Ricci曲率拼擠條件下證明了奇數維子流形的拓撲球面定理。獲得了球面中子流形的一個新的最佳外蘊微分球面定理。證明了第k個Ricci曲率拼擠條件下子流形的若干球面定理。證明了逐點曲率拼擠條件下緊緻愛因斯坦流形的最佳幾何剛性定理，並將其推廣到黎曼流形中任意余維愛因斯坦子流形的情形。證明了單位球面中n維小常平均曲率超曲面的拼擠區間長度為n/23的數量曲率第二拼擠定理。獲得了單位球面中具有小常平均曲率與常數量曲率超曲面的空隙區間長度為(3n)/7的數量曲率第二空隙定理。實質性地改進了球面中緊緻極小子流形的Ejiri剛性定理和丘成桐剛性定理。證明了空間形式中緊緻平行平均曲率子流形的廣義Ejiri剛性定理和廣義丘成桐剛性定理。獲得了球面中緊緻平行平均曲率子流形的一個最佳外蘊剛性定理。證明了曲率積分拼擠條件下空間形式中任意余維平均曲率流解的收斂性定理和可延拓性定理。獲得了雙曲空間中任意余維平均曲率流的最佳收斂性定理及其拓撲套用。在逐點曲率拼擠條件下證明了具有有界幾何的黎曼流形中任意余維平均曲率流的收斂性定理。運用高余維平均曲率流方法證明了歐氏空間中閉子流形在曲率積分與體積具有上界的條件下的拓撲有限性定理。證明了空間形式中閉超曲面的保體積平均曲率流的收斂性定理。獲得了黎曼流形中緊緻嵌入超曲面第一特徵值的表達式，給出了關於緊緻嵌入極小超曲面第一特徵值的丘成桐猜測成立的充要條件。獲得了Hadamard流形中緊緻帶邊極小子流形上薛丁格運算元特徵值個數的估計式。