《環體拓撲與幾何結構》是依託南京大學，由於立擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：環體拓撲與幾何結構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：於立
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究的是具有局部標準的群G作用的閉流形M的拓撲性質和幾何性質，其中G是環群或者 Z2環群。此類群作用的軌道空間M/G具有好的帶角流形的結構。具體研究的內容有： （1）探討M的某些類型的幾何結構的存在性與其軌道空間M/G的組合結構之間的聯繫。 （2）研究其中一類特殊的流形（稱為廣義實Bott流形）的同胚分類問題，以及與之相關的一類歐式空間的晶體群的分類。 （3）當M是aspherical的時候，研究M的基本群與上同調環之間的聯繫，並且討論在這種情況下上同調剛性的問題。 （4）研究拓撲環體流形與普通的環體流形之間拓撲性質和幾何性質的共性和差異。 （5）如果G在M上的作用是自由的，Halperin-Carlsson猜想聲稱M的各個維數的Betti 數之和必有一個只依賴群G的下界。我們將在一定範圍內研究並驗證此猜想。另外，我們將探討此猜想的三維情形與閉三維流形基本群之間的聯繫。
結題摘要
本項目主要研究的是具有局部標準的群G作用的拓撲空間M的拓撲性質和幾何性質，其中G是實環群或者Z2環群。此類群作用的軌道空間M/G是單凸多面體或者好的帶角流形，也可以是有限單純復形。具體研究的內容和研究成果如下: （1）研究如何用軌道空間M/G的組合信息得到M的同調群的計算公式. 特別的，我們將Moment-Angle復形同調群計算的Hochster公式推廣到其一類商空間上。 （2）研究了一個單凸多面體P上small cover流形M的基本群與其面流形的基本群之間的關係。另外得到了若干三維small cover流形的拓撲和幾何結構與其基本群之間關係的結果。 （3）如果G在M上的作用是自由的，Halperin-Carlsson猜想聲稱M的各個維數的Betti數之和必有一個只依賴群G的下界。我們在G為Z2環群，M是二維CW復形和三維流形的情況下證明了該猜想成立。 （4）在一類同調群較簡單的CW復形中研究了同倫論中的一個經典問題 -- D(2)問題，並給出在此類空間中找出D(2)問題反例的一種可能途徑。 （5）由一類具有局部標準的Z2環群作用的流形決定的自對偶二元線性碼的結構和性質。 （6）給出了若干個單形乘積這樣的多面體一些新的組合、幾何和拓撲方式的描述。
