《f-極小子流形和共形平坦流行的剛性問題及幾何拓撲性質》是依託福建師範大學，由林和子擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：f-極小子流形和共形平坦流行的剛性問題及幾何拓撲性質
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：林和子
- 依託單位：福建師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
應力-能量張量是研究能量泛函臨界點能量行為的重要工具，在眾多幾何分析問題中有著重要的套用。我們將利用應力-能量張量在局部共形平坦流形和weighted 流形上建立相關幾何量的單調不等式，然後在增長性條件下得到消滅定理並給出幾何套用。通過計算某些幾何量的Laplacian可以得到一類微分不等式，我們將研究其解的消滅定理並套用到具體的幾何模型中得到剛性定理。本項目的另一個主要方面是研究黎曼流形的一些整體剛性現象，包括f-極小子流形的Bernstein型定理和共形平坦流形的整體剛性問題，同時我們還將研究常weighted平均曲率子流形，特別是f-極小子流形的曲率與幾何拓撲結構的關係，以及無窮遠處的拓撲結構。
結題摘要
本項目遵照計畫書執行，基本完成了預期目標。研究成果如下：（1）當weighted流形上具有weighted Sobolev 類不等式時，我們對一類橢圓不等式證明了Liouville 類定理，把它套用到平均曲率流中的self-shrinkers中，我們可以相應得到一些整體剛性定理。（2）我們研究了各種不同外圍空間中完備子流形的幾何與拓撲結構。當完備非緊子流形的第二基本形式平方與平均曲率平方滿足一定的不等式，或者子流形的全曲率小於某個具體的常數，或者子流形的第二基本形式模長滿足一定的衰減條件時，我們證明了L^2高階調和形式的消滅定理。（3）當黎曼流形中浸入子流形具有平坦法叢時，我們從兩個方面來研究它的幾何與拓撲結構。首先假設子流形緊緻且滿足某些逐點pinching條件，並且外圍空間具有純曲率張量和非負迷向曲率，則子流形的貝蒂數全為零。其次，考慮歐式空間中具有有限全曲率的完備非緊緻子流形，當2＜= p＜= n-2時，我們證明了所有L^2 調和p-形式所構成的空間是有限維數的。（4）當局部共形平坦流形的無跡Ricci張量滿足一定的積分pinching條件，並且數量曲率非正或者滿足某種夾逼條件時，我們分別得到了L^2 調和1-形式的消滅定理和有限性定理。進一步地，利用李偉光和L.F. Tam的理論，我們可以得到該流形只有一個端點或者有限個端點。
