流形上整體幾何與幾何分析的若干研究

《流形上整體幾何與幾何分析的若干研究》是依託浙江大學，由趙恩濤擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：流形上整體幾何與幾何分析的若干研究
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：趙恩濤
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

系統地運用整體幾何與幾何分析的現代方法，深入研究Ricci流在曲率積分拼擠條件下的收斂性及其在曲率與拓撲中的套用；研究任意余維平均曲率流和保體積平均曲率流在曲率積分拼擠條件下的收斂性及其在曲率與拓撲和廣義相對論中的套用；研討空間形式中任意余維平均曲率流在最佳逐點曲率拼擠條件下的收斂性；研究黎曼流形在曲率限制條件下幾何結構、拓撲結構、微分結構的唯一性及拓撲有限性；建立流形的幾何量、分析量與拓撲量之間的關係式，探尋Laplace-Beltrami運算元特徵值上、下界的最佳化估計和流形上Schr?dinger運算元的基本間隙估計；研究特徵值對流形的幾何、拓撲性質的影響，在特徵值拼擠條件下探討流形拓撲結構的唯一性；推進球面中極小超曲面的關於Laplace-Beltrami運算元第一特徵值的丘成桐猜想和關於數量曲率拼擠區間的陳省身猜想的研究。本課題屬國際前沿，在許多領域有重要套用。

結題摘要

研究黎曼流形的曲率與幾何、分析、拓撲的內在聯繫是現代微分幾何的重要課題。本項目緊跟當今微分幾何研究的前沿與熱點，主要研究流形上的整體幾何與幾何分析，探討了黎曼流形及子流形的曲率與拓撲、幾何熱流的收斂性及其套用、幾何剛性與特徵值拼擠等問題。我們引入了子流形上的一個新外蘊不變數τ並證明了關於τ的拼擠條件下子流形上Ricci流的光滑收斂定理與子流形的微分球面定理。證得了截面曲率拼擠條件下子流形上Ricci流的光滑收斂定理與子流形的微分球面定理。證明了曲率拼擠條件下正數量曲率黎曼流形的微分球面定理與分類定理。獲得了雙曲空間中任意余維平均曲率流在最佳曲率拼擠條件下的光滑收斂定理及其拓撲套用。獲得了球面中任意余維平均曲率流在曲率積分拼擠條件下的光滑收斂定理及其拓撲套用。得到了空間形式中保體積平均曲率流的光滑收斂定理。證明了平均曲率流的光滑延拓定理。證明了一類黎曼流形上Ricci流的曲率估計與光滑收斂定理。得到了一類共形平坦黎曼流形上Yamabe流的光滑收斂定理。證明了球面中平行平均曲率子流形關於不變數τ的外蘊剛性定理。得到了歐氏空間中完備極小子流形關於曲率衰減間隙的剛性定理。獲得了平均曲率流自收縮解的幾何剛性定理。證明了λ-超曲面的整體剛性定理並獲得其高余維推廣。證明了一類黎曼流形的積分不等式與最佳整體剛性定理。證明了歐氏空間中閉超曲面關於Laplace運算元第一特徵值的拼擠定理等。本項目共完成學術論文19篇，其中8篇論文發表在《J. Math. Pure. Appl.》、《Comm. Anal. Geom.》、《Ann. Glob. Anal. Geom.》等著名SCI國際期刊上。