《流形上的幾何與分析》是依託中國科學技術大學，由李嘉禹擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：流形上的幾何與分析
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：李嘉禹
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
流形上的幾何與分析是上世紀後期發展起來的重要數學分支，問題極富前沿性、挑戰性和創新性。吸引了一批優秀數學家對該領域的探索和鑽研。本項目組成員之間長期合作，在平均曲率流的奇點分析、復Monge-Ampere方程、預定曲率問題、廣義Yamabe問題、Willmore泛函緊性等的研究中取得了一系列重要研究成果。 他們計畫在未來的五年時間裡, 合作研究平均曲率流、Ricci流、重整化群流等幾何發展方程及其在幾何中的套用；利用完全非線性偏微分方程的方法研究復Monge-Ampere方程、Sasakian-Einstein度量、極值度量等復幾何中的問題及凸幾何中的問題；研究預定曲率問題及廣義Yamabe問題；研究帶分支點的曲面與它的Willmore泛函。在這些問題的研究中，主要解決相關橢圓及拋物方程解的正則性，奇點分析，以及解空間的緊性。這是幾何分析及非線性分析研究中重要且困難的課題。
結題摘要
流形上的幾何與分析是上世紀後期發展起來的重要數學分支，所研究的問題極富前沿性、挑戰性和創新性。本項目組成員通過分工和合作在幾何發展方程及其幾何套用方面；完全非線性偏微分方程及其在復幾何中及凸幾何中的套用方面；預定曲率問題及廣義Yamabe 問題；帶分支點的曲面與Willmore 泛函方面取得了一系列重要成果。 尋找全純曲線是微分幾何、復幾何研究中的一個重要問題。我們利用辛平均曲率流來尋找全純曲線，我們證明在一定的pinching條件下，CP^2中的辛平均曲率流長時間存在且收斂到全純曲線。我們在辛曲面上引入一類依賴於一參數的泛函，研究這類泛函的臨界曲面及相關緊性定理，並將其用來尋找全純曲線。 我們利用Yang-Mills-Higgs流證明半穩定的Higgs叢上必存在漸近Hermitian-Einstein度量，從而對Kobayashi的一個猜測作了肯定回答，作為套用得到半穩定Higgs叢上的Chern數不等式。我們研究Fano流形上的帶錐角的Kaehler-Ricci流，通過帶光滑擾動項逼近的方法證明該流的長時間解存在性，得到相關的正則性估計；建立沿帶錐角Kaehler-Ricci流的Perelman型估計,進而得到該熱流的收斂性結果。在完全非線性偏微分方程方面，我們得到得到拋物方程解的時空水平集的第二基本形式的一個常秩定理，在一定條件下證明熱方程解的水平集是時空聯合嚴格凸的。我們還得到了平均曲率方程的梯度估計，得到Hessian方程Neumann問題的存在性定理，從而給出Trudinger猜想的一個肯定回答。我們得到復Monge-Ampere方程的內部C^(2,\alpha)估計；研究一類非經典型的退化復Monge-Ampere方程的Dirichlet問題，作為套用得到關於具常純量曲率Sasakian度量的唯一性定理。我們研究了黎曼流形中預定Weingarten曲率的閉超曲面的存在性問題，建立先驗估計證明解的存在性。我們提出了W^{2,2}共形浸入和帶分支點的W^{2,2}共形浸入的概念，推廣了Helein收斂定理，並解決了Helein關於該收斂的一個猜想。我們給出了在一般的凱勒類中K-能量是proper的條件，完全解決了Song-Weinkove提出的一個問題，並且給出了極值凱勒度量所對應的K能量泛函為proper的一個充分條件。
