《流形上等距浸入曲面的幾何與分析》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由何玲擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：流形上等距浸入曲面的幾何與分析
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：何玲
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
黎曼流形上等距浸入曲面的分類研究一直都受到幾何和物理研究者廣泛的關注。以平均曲率流為研究背景的關於歐式空間中等距浸入曲面的分類研究與拓撲、代數幾何等有著密切的聯繫。關於特殊黎曼流形復Grassmann流形中等距浸入曲面的分類研究與理論物理弦理論中Grassmann sigma-模的構造息息相關。四元射影空間作為復Grassmann流形的子流形，具有較特殊的幾何結構，其上等距浸入曲面的研究是子流形幾何研究領域的重大課題。本項目將在已有成果基礎上，進一步深入研究以下幾個方面：首先，完善四元射影空間中等距浸入極小2維球面的分類理論，改進現有的構造四元射影空間中調和（在共形浸入的條件下，極小等價於調和）2維球面的算法，在高斯曲率為常值的條件下對其完全分類；其次，研究四元射影空間中等距浸入2維環面的分類問題；最後，考慮歐式空間中等距浸入曲面self-shrinkers和solitons的分類問題。
結題摘要
黎曼流形中等距浸入曲面的構造和分類研究一直都備受幾何學家和物理學家關注。我們綜合運用分析，代數和多項式方程構造調和2維球面的方法研究了復Grassmann流形G(2,5)中常高斯曲率全純2維球面的分類問題，該方法能夠有效地構造一般復Grassmann流形中的常高斯曲率調和2維球面，這與理論物理弦理論中Grassmann Sigma-模的構造息息相關。我們根據調和序列保持齊性的特點，對四元射影空間中線性滿的齊性極小2維球面進行了完全分類，該結果以及後續的研究表明四元射影空間中的常高斯曲率極小2維球面的分類問題要從模空間的角度考慮。此外，我們定義了四元凱勒角，分類了四元射影空間中的全實平坦極小曲面，這將豐富四元凱勒流形中曲面幾何的研究。我們獲得了四次K3曲面上滿足某一特殊性質球面的非存在性，這有利於研究K3曲面上triholomorphic映射的奇點集問題，該結果有助於更深入地研究超凱勒流形間triholomorphic映射的奇點集問題，而超凱勒流形間triholomorphic映射與物理學規範場論中八元素瞬子相互對應。我們獲得平行單位平均曲率向量辛臨界曲面的分類，該方法有助於研究四維歐式空間中常平均曲率曲面以及self-shrinkers和solitons曲面的分類問題。
