流形上的典則結構及在幾何拓撲中的套用

《流形上的典則結構及在幾何拓撲中的套用》是依託中山大學，由朱熹平擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：流形上的典則結構及在幾何拓撲中的套用
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：朱熹平
• 依託單位：中山大學

中文摘要

本申請項目屬於現代微分幾何中的幾何分析領域，它主要利用分析工具研究流形（或更一般的Alexandrov空間）的幾何結構、拓撲結構或復結構。當一個流形的幾何形狀具有足夠的對稱性時，此流形被稱為具有典則（Canonical）結構。具備典則結構的流形通常能被完全分類，這樣流形的全面分類問題歸結為流形的典則分解問題。隨著Hamilton-Perelman理論對三維閉流形典則分解的完成，如何對四維流形進行典則分解已提上日程。本申請項目的主要目的是試圖通過適當形變和幾何手術的深入分析來達到理解四維流形的幾何、拓撲和理解四維時空的大範圍結構。其間，我們擬研究幾何分析與Gromov幾何的內在聯繫，特別地將研究Alexandrov空間的幾何結構。通過這些研究來達到對四維Ricci流及四維時空的奇點結構的理解。 同時我們還研究非Kaehler流形上的典則結構和復向量叢的典則結構問題。

結題摘要

本項目順利完成了各方面的研究工作，並取得了重要的成果：利用Ricci flow系統研究了一類四維流形的幾何與拓撲分類，這類流形容許正的迷向曲率。關於正的迷向曲率的緊緻流形，著名數學家，Wolf 獎和Abel 獎獲得者，M. Gromov 在1994年提出了基本群猜測，並且在2010年國際數學家大會一小時報告上著名數學家R. Schoen 進一步提出了更強的拓撲分類猜測。本項目的第一個重要進展是完全解決四維情形的Gromov 與 Schoen 的猜測。事實上我們對具有正的迷向曲率的四維緊緻流形進行了完全的微分同胚意義下的分類。在此工作的基礎之上，項目組成員合作深化和給出了張聖蓉等的共形球面定理的推廣。 該項目的第二個研究題目是Alexandrov空間的幾何，這個是俄國人的傳統優勢項目，項目組從幾何學發展的角度適時開展了Alexandrov空間上的幾何分析研究，並取得了一些突破形的進展：得到了Alexandrov空間上的調和函式的梯度估計，特徵值估計，以及分裂定理。 項目拓展研究了等距嵌入問題：證明任何高斯曲率具有負上界的單連通的曲面一定存在到三維 Minkowski 空間的光滑的等距嵌入。 本項目對歐氏空間中的平均凸（即平均曲率為正）的閉超曲面的平均曲率流進行的研究，盛為民與汪徐家證明了在第一次發生奇點時任何blow-up序列都子列收斂於一個凸解。並且存在只與維數n有關的常數k＞0，任何平均凸的閉的超曲面的平均曲率流在第一次發生奇點時的任何規範化的blow-up極限流都是k-noncollapsing的。本項目對全純叢上特殊Hermitian度量和聯絡及相關熱流收斂性問題、復Monge-Ampere方程正則性估計及其套用等方面進行了研究。 本項目按計畫在非凱勒復幾何的典則度量的研究中取得了一些重要進展：傅吉祥與李駿和丘成桐合作，證明了三維Kahler Calabi-Yau流形經過錐形變換得到的三維非Kahler緊複流形上具有平衡度量，不具有pluriclosed度量。他們得到的度量在這種非Kahler複流形的幾何的後續研究中起到非常重要的作用。